Рассылка решений заочных туров олимпиад по математике

Подписывайтесь на нашу рассылку решений заочных туров всех олимпиад по математике: Ломоносов, Покори Воробьевы горы, Высшая проба, Физтех 2018 и другие перечневые олимпиады.

«Высшая проба» — олимпиада школьников НИУ ВШЭ 2017-2018 / Межрегиональная олимпиада по математике


  • Сезон олимпиад 2017-2018 открыт!
    Идет запись на наши курсы подготовки к олимпиадам по математике с гарантированным результатом.
    image
    1. Индивидуальные занятия и консультации.
    2. Помощь в прохождении заочных туров олимпиад. Одна олимпиада 1-5 тыс. руб.
    3. Заочный этап олимпиады Высшая проба - 5 тыс. руб.
    4. Помощь эксперта на очных турах олимпиад. Одна олимпиада от 30 тыс. руб.
    5. Гарантия успешного результата (курсы ведутся пятый сезон).

    Стоимость курсов от 3000 до 25000 руб. в месяц. Стандартный курс - 10000 руб. в месяц. Длительность курсов - 6 месяцев.
    В составе стандартного курса заочные туры 10 олимпиад и очные туры 2 олимпиад.
    Посмотреть тарифные планы и подробную информацию по курсам подготовки.


    В этой теме выкладываются задания, решения и иная полезная информация по межрегиональной олимпиаде Высшая проба 2017-2018 учебного года.

    Олимпиада Высшая проба 2017-2018. Регистрация.


    Регистрация на олимпиаду стартовала на официальном сайте 3 октября 2017 года. Завершение регистрации - 25 ноября 2017 года - после этой даты вы не сможете пройти регистрацию и принять участие в отборочном этапе.
    Особенностью этой олимпиады является то, что регистрация завершается ДО отборочных этапов по всем предметам (как правило, проходят в декабре), поэтому многие абитуриенты не могут принять участие в олимпиады из-за несвоевременной регистрации.

    Олимпиада Высшая проба 2017-2018. Отборочный этап в заочной форме.


    Задания и решения за прошлый учебный год.
    Расписание отборочного этапа по математике:
    Основной тур - 2 декабря в 10-00 по Мск. Запасной тур - 7 декабря в 14-00 по Мск. Можно пройти только 1 тур. Если вы прошли основной тур, то не допускаетесь на запасной тур.
    Длительность тура - 240 минут (4 астрономических часа), проводится в режиме онлайн. Дается 10 задач повышенной сложности, развернутые решения не требуются, только ответы. Каждый правильный ответ оценивается в 10 баллов, итого 100 баллов. Проходной балл на заключительный этап - 60-70, т.е. 6-7 правильных ответов.
    Замечу, что по уровню сложности заочный тур олимпиады Высшая проба является максимальным, среди всех вузовских олимпиад, особенно с учетом того, что дается всего две попытки по 240 минут.
    Новшество прошлого года - много разных вариантов.
    2-3 задачи вполне решаемы, остальные требуют фундаментальной подготовки.

    Олимпиада Высшая проба. Заключительный этап.


    Задания и решения прошлого учебного года.
    Заключительный этап в очной форм проводится в середине февраля, на нескольких региональных площадках. Традиционно дается 6 заданий, каждое из которых оценивается в 20 баллов, но суммарно можно получить максимум 100 баллов, даже если решены все шесть задач (еще одна особенность олимпиады). Сложность заданий также максимальна, в сравнении с другими олимпиадами. Тип задач приближен к классическим олимпиадам (Всероссийская, ММО и т.д.). Граница призеров начинается с 50-60 баллов (постепенно повышается за последние 3 года), т.е. трех правильных решений будет достаточно для получения диплома. Отметим, что некоторые баллы можно заработать даже за неполные решения, в которых реализовано начальное продвижение.

    Задания и решения за прошлые годы.


    2016: заключительный этап, отборочный этап.
    2015: заключительный этап, отборочный этап.
    2014: заключительный этап, отборочный этап, решения.
    2013: заключительный этап, отборочный этап.
    2012: заключительный этап.

    Остальная информация будет добавляться по мере ее поступления.


    Внимание: частичные решения одного из вариантов будут рассылаться нашим подписчикам (форма подписки выше).
    Полные решения вашего персонального варианта возможно подключить на платной основе - 5 тыс. руб. Ожидаемый результат - 100 баллов.
    Идет запись на основной тур (2 декабря). Количество мест ограничено.
    info@olympiads.biz - почта для вопросов и бронирования.
  • Задача №1-1.
    Сумма `10` натуральных чисел `a_1<...<a_10` равна `300`. Найдите максимум суммы `a_1+a_3+...+a_9`.

    Решение:
    `a_1<=a_2-1`
    `a_3<=a_4-1`
    ...
    `a_9<=a_10-1`
    Сложим:
    `a_1+a_3+...+a_9<=a_2+a_4+...+a_10-5`,
    прибавим к неравенству сумму `a_1+a_3+...+a_9`:
    `2(a_1+a_3+...+a_9)<=a_1+a_2+...+a_9+a_10-5=300-5=295`.
    `a_1+...+a_9<=295/2=147,5`.
    Значит, `a_1+a_3+...+a_9<=147`, как сумма целых чисел.
    Осталось построить пример, при котором сумма может равняться `147`.
    `25,26,27,28,29,30,31,32,35,37`.

    Ответ: `147`.

    Задача №1-2.
    Сумма `10` натуральных чисел `a_1<...<a_10` равна `144`. Найдите максимум суммы `a_1+a_3+...+a_9`.

    Решение:
    `a_1<=a_2-1`
    `a_3<=a_4-1`
    ...
    `a_9<=a_10-1`
    Сложим:
    `a_1+a_3+...+a_9<=a_2+a_4+...+a_10-5`,
    прибавим к неравенству сумму `a_1+a_3+...+a_9`:
    `2(a_1+a_3+...+a_9)<=a_1+a_2+...+a_9+a_10-5=144-5=139`.
    `a_1+...+a_9<=139/2=69,5`.
    Значит, `a_1+a_3+...+a_9<=69`, как сумма целых чисел.
    Осталось построить пример, при котором сумма может равняться `69`.
    `9,10,11,12,13,14,15,16,21,23`.

    Ответ: `69`.
  • Задача №2-1.
    Дана вертикальная система трубок из пяти уровней, изображённая на рисунке на каждом следующем трубка раздваивается. Сверху бросают шарик. Трубки устроены так, что из каждой он летит налево с вероятностью `1/3` и направо с вероятностью `2/3`. Найдите вероятность того, что шарик вылетит из системы справа. Ответ дайте с точностью до трёх десятичных знаков после запятой. Балл за задачу: 8.
    image

    Решение:
    Всего три конечных выхода справа.
    Посчитаем вероятность вылета шарика из верхнего правого выхода: `p_1=2/3*2/3*2/3`.
    Вероятность вылета шарика из среднего правого выхода:
    `p_2=2/3*2/3*1/3*2/3+2/3*1/3*2/3*2/3+1/3*2/3*2/3*2/3` - всего три возможных маршрута.
    Вероятность вылета шарика из нижнего правого выхода (`6` маршрутов):
    `p_3=2/3*2/3*1/3*1/3*2/3+2/3*1/3*2/3*1/3*2/3+2/3*1/3*1/3*2/3*2/3+`
    `+1/3*2/3*2/3*1/3*2/3+1/3*2/3*1/3*2/3*2/3+1/3*1/3*2/3*2/3*2/3`.
    `p_1=8/27, p_2=3*8/81=8/27, p_3=6*8/243=16/81`.
    Итого, `P=8/27+8/27+16/81=(24+24+16)/81=64/81`.
    Округляем до `3` знаков, получаем `0,790`.

    Ответ: `0,790`.

    Задача №2-2.
    Дана вертикальная система трубок из пяти уровней, изображённая на рисунке, на каждом следующем трубка раздваивается. Сверху бросают шарик. Трубки устроены так, что из каждой он летит налево с вероятностью `1/3` и направо с вероятностью `2/3`. Найдите вероятность того, что шарик достигнет нижней трубки. Ответ дайте с точностью до трёх знаков после запятой.
    image

    Решение:
    Всего `6` возможных маршрутов, по которым шарик может достигнуть нижней трубки. Посчитаем вероятность каждого маршрута:
    `2/3*2/3*1/3*1/3` - 1 маршрут
    `2/3*1/3*2/3*1/3` - 2 маршрут
    `2/3*1/3*1/3*2/3` - 3 маршрут
    `1/3*2/3*2/3*1/3` - 4 маршрут
    `1/3*2/3*1/3*2/3` - 5 маршрут
    `1/3*1/3*2/3*2/3` - 6 маршрут.
    Обратим внимание, что вероятности всех маршрутов одинаковые. Это, в частности, следует из того, что для попадания в нижнюю трубку шарику надо сделать два выхода вправо и два выхода влево при любом маршруте.
    `P=6*4/81=8/27`.
    Округляем до `3` знаков, получаем `0,296`.

    Ответ: `0,296`.
  • Задача №3-1.
    В младшей группе детского сада есть две разные маленькие елки и пять детей. Воспитатели хотят разделить детей на 2 хоровода, причем в каждом хороводе должен быть хоть 1 ребенок. При этом воспитатели различают детей и елки: 2 таких разбиения считаются одинаковыми, если одно из них можно получить из другого повращав каждый из хороводов вокруг своей елки. Сколькими способами можно разбить детей на хороводы.

    Решение:
    1) Вначале посчитаем сколькими способами можно организовать хоровод вокруг одной елки при разном количестве детей, учитывая что воспитатели различают их:
    1 ребенок - 1 способ: (1),
    2 ребенка - 1 способ: (1,2), (2,1)- но способы одинаковые, т.к. их можно получить друг из друга поворотом вокруг елки,
    3 ребенка - 2 способа: (1,2,3), (2,3,1), (3,1,2), (1,3,2), (3,2,1), (2,1,3) - но первые 3 способа и последние 3 способа одинаковые, т.к. их можно получить друг из друга поворотом вокруг елки,
    4 ребенка - 6 способов: всего мы можем получить 4*3*2*1=24 различные комбинации вида (a,b,c,d), но при этом каждая из них при повороте вокруг елки преобразуется еще в 3 комбинации из этого списка, тогда число различных способов 24/4=6.
    2) поскольку в каждом хороводе должен быть хоть 1 ребенок, то возможны следующие ситуации:
    а) у 1й елки - 1 ребенок, у 2й - 4 ребенка, при этом способов выбрать одного ребенка у нас 5, тогда число различных хороводов 1*6*5 = 30,
    б) у 1й елки - 2 ребенка, у 2й - 3 ребенка, при этом способов выбрать два ребенка у нас (5*4)/(2*1)=10, тогда число различных хороводов 2*1*10=20,
    в) у 1й елки - 3 ребенка, у 2й - 2 ребенка, при этом способов выбрать два ребенка у нас (5*4)/(2*1)=10, тогда число различных хороводов 1*2*10=20,
    г) у 1й елки - 4 ребенка, у 2й - 1 ребенок, при этом способов выбрать одного ребенка у нас 5, тогда число различных хороводов 6*1*5 = 30,
    Тогда всего число различных хороводов: `30+20+20+30=100`.

    Ответ: `100`.

    Задача №3-2.
    В младшей группе детского сада есть две одинаковые маленькие елки и пять детей. Воспитатели хотят разделить детей на 2 хоровода, причем в каждом хороводе должен быть хоть 1 ребенок. При этом воспитатели различают детей, но не различают елки: 2 таких разбиения считаются одинаковыми, если одно из них можно получить поменяв елки местами и повращав каждый из хороводов вокруг своей елки. Сколькими способами можно разбить детей на хороводы.

    Решение:
    1) Вначале посчитаем сколькими способами можно организовать хоровод вокруг одной елки при разном количестве детей, учитывая что воспитатели различают их:
    1 ребенок - 1 способ: (1),
    2 ребенка - 1 способ: (1,2), (2,1)- но способы одинаковые, т.к. их можно получить друг из друга поворотом вокруг елки,
    3 ребенка - 2 способа: (1,2,3), (2,3,1), (3,1,2), (1,3,2), (3,2,1), (2,1,3) - но первые 3 способа и последние 3 способа одинаковые, т.к. их можно получить друг из друга поворотом вокруг елки,
    4 ребенка - 6 способов: всего мы можем получить 4*3*2*1=24 различные комбинации вида (a,b,c,d), но при этом каждая из них при повороте вокруг елки преобразуется еще в 3 комбинации из этого списка, тогда число различных способов 24/4=6.
    2) поскольку в каждом хороводе должен быть хоть 1 ребенок, то возможны следующие ситуации:
    а) у 1й елки - 1 ребенок, у 2й - 4 ребенка, при этом способов выбрать одного ребенка у нас 5, тогда число различных хороводов 1*6*5 = 30,
    б) у 1й елки - 2 ребенка, у 2й - 3 ребенка, при этом способов выбрать два ребенка у нас (5*4)/(2*1)=10, тогда число различных хороводов 2*1*10=20,
    в) у 1й елки - 3 ребенка, у 2й - 2 ребенка - преобразуется в ситуацию б) если поменять местами елки,
    г) у 1й елки - 4 ребенка, у 2й - 1 ребенок - преобразуется в ситуацию а) если поменять местами елки,
    Тогда всего число различных хороводов: `30+20=50`.

    Ответ: `50`.
  • Задача №4-1.
    В классе за контрольную 6 учеников получили оценку 5, 7 оценку 4 и 1 оценку 3. Учитель сказал им разбиться на пары с разными оценками, где получивший лучшую оценку рассказал бы получившему худшую, где тот ошибся. Сколькими способами ученики могли бы разбиться на пары при таком условии?

    Решение:
    1) Поскольку всего 6+7+1=14 учеников и ровно 7 из них получили 4, то чтобы в парах были ученики с разными оценками, возможны только разбиения на пары, где 6 пар состоят из ученикв получвших 4 и 5, в последней паре будут получившие 3 и 4.
    2) для начала посчитаем сколько способов выбрать пару получивших 3 и 4: 1*7=7, т.к. всего 1 ученик получил 3 и 7 учеников получили 4.
    3) теперь сколько способов выбрать пары получивших 5 и 4: расставим получивших 5 в произвольном порядке и зафиксируем его (нам не важен порядок в котором мы зафиксировали получивших 5, т.к. мы ищем число различных пар и неважно в каком порядке эти пары идут). Теперь будем ставить в соответствие им получивших 4: их можно упорядочить 6*5*4*3*2*1=720 способами.
    4) тогда всего различных пар может быть 6*720=4320.

    Ответ: `4320`.

    Задача №4-2.
    В классе за контрольную 6 учеников получили оценку 5, 6 оценку 4 и 6 оценку 3. Учитель сказал им разбиться на пары с разными оценками, где получивший лучшую оценку рассказал бы получившему худшую, где тот ошибся. Сколькими способами ученики могли бы разбиться на пары при таком условии?

    Решение:
    1) Поскольку всего 6+6+6=18 учеников, то будет 9 пар учеников, где в 6 парах будут ученики получившие 5, значит, в оставшихся 3 парах будут ученики получившие 3 и 4.
    Тогда будут 3 пары с оценками 3 и 4, 3 пары с оценками 3 и 5, 3 пары с оценками 4 и 5.
    2) для начала посчитаем сколько способов выбрать пары получивших 3 и 4: (6*5*4)/(3*2*1)=20 - столько способов выбрать 3 человека получивших 3(нам не важен их порядок).
    Аналогично получим 20 способов выбора получивших 4. Теперь образуем из них пары: расставим получивших 3 в произвольном порядке и зафиксируем его (нам не важен порядок в котором мы зафиксировали получивших 3, т.к. мы ищем число различных пар и неважно в каком порядке эти пары идут). Теперь будем ставить в соответствие им получивших 4: их можно упорядочить 3*2*1=6 способами. Итого получаем 20*20*6=2400 способов выбрать пары получивших 3 и 4.
    3) посчитаем сколько способов выбрать пары получивших 3 и 5: получивших 3 мы не выбираем - это невыбранные в пункте 2.
    (6*5*4)/(3*2*1)=20 - столько способов выбрать получивших 5(нам не важен их порядок). Теперь образуем из них пары: расставим получивших 3 в произвольном порядке и зафиксируем его (нам не важен порядок в котором мы зафиксировали получивших 3, т.к. мы ищем число различных пар и неважно в каком порядке эти пары идут). Теперь будем ставить в соответствие им получивших 5: их можно упорядочить 3*2*1=6 способами. Итого получаем 1*20*6=120 способов выбрать пары получивших 3 и 5.
    4) посчитаем сколько способов выбрать пары получивших 4 и 5: получивших 4 мы не выбираем - это невыбранные в пункте 2, получивших 5 мы не выбираем - это невыбранные в пункте 3. Теперь образуем из них пары, аналогично пунктам 2 и 3: 3*2*1=6 способов образовать пары. Итого получаем 1*1*6=6 способов выбрать пары получивших 4 и 5.
    5) Тогда всего различных пар может быть 2400*120*6=1728000.

    Ответ: `1728000`.

    Задача №4-3.
    В классе за контрольную 5 учеников получили оценку 5, 5 оценку 4 и 6 оценку 3. Учитель сказал им разбиться на пары с разными оценками, где получивший лучшую оценку рассказал бы получившему худшую, где тот ошибся. Сколькими способами ученики могли бы разбиться на пары при таком условии?

    Решение:
    1) Поскольку всего 5+5+6=16 учеников, то будет 8 пар учеников, где в 6 парах будут ученики получившие 3, значит, в оставшихся 2 парах будут ученики получившие 5 и 4.
    Тогда будут 3 пары с оценками 3 и 4, 3 пары с оценками 3 и 5, 2 пары с оценками 4 и 5.
    2) для начала посчитаем сколько способов выбрать пары получивших 3 и 4: (6*5*4)/(3*2*1)=20 - столько способов выбрать 3 человека получивших 3(нам не важен их порядок).
    Аналогично получим (5*4*3)/(3*2*1)=10 способов выбора получивших 4. Теперь образуем из них пары: расставим получивших 3 в произвольном порядке и зафиксируем его (нам не важен порядок в котором мы зафиксировали получивших 3, т.к. мы ищем число различных пар и неважно в каком порядке эти пары идут). Теперь будем ставить в соответствие им получивших 4: их можно упорядочить 3*2*1=6 способами. Итого получаем 20*10*6=1200 способов выбрать пары получивших 3 и 4.
    3) посчитаем сколько способов выбрать пары получивших 3 и 5: получивших 3 мы не выбираем - это невыбранные в пункте 2.
    (5*4*3)/(3*2*1)=10 - столько способов выбрать получивших 5(нам не важен их порядок). Теперь образуем из них пары: расставим получивших 3 в произвольном порядке и зафиксируем его (нам не важен порядок в котором мы зафиксировали получивших 3, т.к. мы ищем число различных пар и неважно в каком порядке эти пары идут). Теперь будем ставить в соответствие им получивших 5: их можно упорядочить 3*2*1=6 способами. Итого получаем 1*10*6=60 способов выбрать пары получивших 3 и 5.
    4) посчитаем сколько способов выбрать пары получивших 4 и 5: получивших 4 мы не выбираем - это невыбранные в пункте 2, получивших 5 мы не выбираем - это невыбранные в пункте 3. Теперь образуем из них пары, аналогично пунктам 2 и 3: 2*1=2 способа образовать пары. Итого получаем 1*1*2=2 способа выбрать пары получивших 4 и 5.
    5) Тогда всего различных пар может быть 1200*60*2=144000.

    Ответ: `144000`.

    Задача №4-4.
    В классе за контрольную 5 учеников получили оценку 5, 6 оценку 4 и 7 оценку 3. Учитель сказал им разбиться на пары с разными оценками, где получивший лучшую оценку рассказал бы получившему худшую, где тот ошибся. Сколькими способами ученики могли бы разбиться на пары при таком условии?

    Решение:
    1) Поскольку всего 5+6+7=18 учеников, то будет 9 пар учеников, где в 6 парах будут ученики получившие 4, значит, в оставшихся 3 парах будут ученики получившие 5 и 3.
    Тогда будут 4 пары с оценками 3 и 4, 3 пары с оценками 3 и 5, 2 пары с оценками 4 и 5.
    2) для начала посчитаем сколько способов выбрать пары получивших 3 и 5: (7*6*5)/(3*2*1)=35 - столько способов выбрать 3 человека получивших 3(нам не важен их порядок).
    Аналогично получим (5*4*3)/(3*2*1)=10 способов выбора получивших 5. Теперь образуем из них пары: расставим получивших 3 в произвольном порядке и зафиксируем его (нам не важен порядок в котором мы зафиксировали получивших 3, т.к. мы ищем число различных пар и неважно в каком порядке эти пары идут). Теперь будем ставить в соответствие им получивших 5: их можно упорядочить 3*2*1=6 способами. Итого получаем 35*10*6=2100 способов выбрать пары получивших 3 и 5.
    3) посчитаем сколько способов выбрать пары получивших 4 и 5: получивших 5 мы не выбираем - это невыбранные в пункте 2.
    (5*4)/(2*1)=10 - столько способов выбрать получивших 5(нам не важен их порядок). Теперь образуем из них пары: расставим получивших 4 в произвольном порядке и зафиксируем его (нам не важен порядок в котором мы зафиксировали получивших 4, т.к. мы ищем число различных пар и неважно в каком порядке эти пары идут). Теперь будем ставить в соответствие им получивших 5: их можно упорядочить 2*1=2 способами. Итого получаем 1*10*2=20 способов выбрать пары получивших 4 и 5.
    4) посчитаем сколько способов выбрать пары получивших 4 и 3: получивших 4 мы не выбираем - это невыбранные в пункте 3, получивших 3 мы не выбираем - это невыбранные в пункте 2. Теперь образуем из них пары, аналогично пунктам 2 и 3: 4*3*2*1=24 способа образовать пары. Итого получаем 1*1*24=24 способа выбрать пары получивших 4 и 5.
    5) Тогда всего различных пар может быть `2100*20*24=1008000`.

    Ответ: `1008000`.
  • Задача №5-1.
    Вписанныая окружность треугольника `ABC`, касается сторон `AB,BC,CA` в точках `C_1,A_1,B_1` соответственно. Отрезок `B B_1` повторно пересекает окружность в точке `K`. Известно, что `AB=BC=17, AC=16`. Найти `BK`.

    Решение:
    1) Поскольку `AB=BC=17`, то треугольник `ABC` - равнобедренный. Т.к. `A_1,B_1,C_1` - точки касания вписанной окружности, то `AB_1=AC_1, BA_1=BC_1, CA_1=CB_1`.
    `AB_1=AC_1=AB-BC_1=BC-BA_1=CA_1=CB_1 => AB_1=CB_1`, то есть `B B_1` - медиана, а поскольку треугольник равнобедренный, то еще высота и бисектрисса.
    2) `AB_1=CB_1=(AC)/2=16/2=8`. Тогда учитывая, что `B B_1` - высота:
    `B B_1=sqrt(AB^2-AB1^2)=sqrt(17^2-8^2)=sqrt(289-64)=sqrt(225)=15`.
    3) `S_(ABC)=AC*(B B_1)/2=16*15/2=120`,
    `S_(ABC)=p*r=r*(AB+AC+BC)/2=r*(17+17+16)/2=r*25`, где `r` - радиус вписанной окружности.
    `r=120/25=24/5`.
    4) `B_1K` - диаметр, т.к. `B B_1` - бисектрисса и следовательно центр вписанной окружности лежит на ней. `B_1K=2*r=48/5`.
    `BK=BB_1-B_1K=15-48/5=(75-48)/5=27/5`.

    Ответ: `5,4`.

    Задача №5-2.
    Вписанная окружность треугольника `ABC` касается сторон `AB,BC,CA` в точках `C_1,A_1,B_1` соответственно. Отрезок `B B_1` повторно пересекает окружность в точке `K`. Известно, что `AB=BC=5, AC=6`. Найти `BK`.

    Решение:
    1) Поскольку `AB=BC=17`, то треугольник `ABC` - равнобедренный. Т.к. `A_1,B_1,C_1` - точки касания вписанной окружности, то `AB_1=AC_1, BA_1=BC_1, CA_1=CB_1`.
    `AB_1=AC_1=AB-BC_1=BC-BA_1=CA_1=CB_1 => AB_1=CB_1`, то есть `B B_1` - медиана, а поскольку треугольник равнобедренный, то еще высота и бисектрисса.
    2) `AB_1=CB_1=(AC)/2=6/2=3`. Тогда учитывая, что `B B_1` - высота:
    `B B_1=sqrt(AB^2-AB_1^2)=sqrt(5^2-3^2)=sqrt(25-9)=sqrt16=4`.
    3) `S_(ABC)=AC*(BB_1)/2=6*4/2=12`,
    `S_(ABC)=p*r=r*(AB+AC+BC)/2=r*(5+5+6)/2=r*8`, где `r`-радиус вписанной окружности.
    `r=12/8=3/2`.
    4) `B_1K` - диаметр, т.к. `B B_1`-бисектрисса и следовательно центр вписанной окружности лежит на ней. `B_1K=2r=3`.
    `BK=BB_1-B_1K=4-3=1`.

    Ответ: `1`.
  • Задача №6-1.
    В мешке лежат варежки: правые и левые. Всего 12 пар: 10 красных и 2 синих. Сколько варежек надо вытащить, чтобы гарантированно достать пару варежек, обе одного цвета? Балл за задачу: 8.

    Решение:
    Всего 10 левых красных, 10 правых красных, 2 левых синих и 2 правых синих варежек.
    Положим, сначала достали 10 левых красных и 2 левых синих варежек. Целой пары варежек нет, поэтому 12 варежек не хватит для гарантированной пары одного цвета.
    Докажем, что 13 варежек хватит. Предположим обратное. Вытащили 13 варежек и среди них нет пары одного цвета.
    Синих может быть максимум 2 варежки, поскольку если 3 или больше, то среди них обязательно будет синяя пара.
    Значит, красных не менее 11 варежек. Но левых или правых может быть не больше 10, значит среди этих 11 красных варежек обязательно найдется красная пара. Противоречие.

    Ответ: `13`.

    Задача №6-2.
    В мешке лежат варежки: правые и левые. Всего 12 пар: 10 красных и 2 синих. Сколько варежек надо вытащить, чтобы гарантированно достать пару варежек (одна правая, одна левая) разных цветов? Балл за задачу: 8.

    Решение:
    Положим, сначала вытащили все 20 красных варежек. Среди них нет пары разных цветов, значит 20 варежек недостаточно.
    Пусть вытащили 21 варежку. Синих не менее 1 варежки, поскольку красных всего 20. Красных не менее 17 варежек, поскольку синих всего 4.
    Среди этих 17 красных варежек обязательно найдутся и левые и правые, поскольку их по 10 штук. Значит, одна из красных варежек составит пару с синей.

    Ответ: `21`.
  • Задача №7-1.
    Миша загадал пятизначное число, все цифры которого различны, а Игорь пытается его угадать. За один ход Игорь может выбрать несколько разрядов числа, а Миша в произвольном порядке сообщает цифры, стоящие в этих разрядах. Порядок, в котором сообщать цифры, выбирает Миша. Например, если задумано число 67890, а Игорь спросил про цифры в разрядах 1 и 5, то Миша может ответить как «6 и 0», так и «0 и 6». За какое наименьшее число ходов Игорь сможет гарантированно узнать число

    Решение:
    Понятно, что за 5 ходов Игорь всегда может узнать загаданное число.
    Пример с 4 ходами: Игорь говорит 1,2 и 2,3. Совпадающая цифра будет цифрой 2 разряда. Игорю останется попросить назвать 4 и 5 разряды.
    Пример с 3 ходами: Игорь говорит 1,2,3 и 2,3,4. Таким образом он узнает цифры 1 и 4 разрядов (не повторяющеся цифры), а также пару цифр для 2,3 разрядов (они будут повторяться).
    Теперь Игорю достаточно сказать 2 и 5, тогда он узнает цифру 5 разряда (она будет отличаться от уже названных цифр) и цифру 2 разряда (одна из двух цифр, которые повторились ранее).
    Пример с 2 ходами очевидно нельзя построить, т.к. за 2 хода можно узнать точные цифры не более, чем 3 разрядов.

    Ответ: `3`.

    Задача №7-2.
    Миша загадал шестизначное число, все цифры которого различны, а Игорь пытается его угадать. За один ход Игорь может выбрать несколько разрядов числа, а Миша в произвольном порядке сообщает цифры, стоящие в этих разрядах. Порядок, в котором сообщать цифры, выбирает Миша. Например, если задумано число 678905, а Игорь спросил про цифры в разрядах 1 и 5, то Миша может ответить как «6 и 0», так и «0 и 6». За какое наименьшее число ходов Игорь сможет гарантированно узнать число? Балл за задачу: 13.

    Решение:
    Пример с 4 ходами легко построить на основе решения предыдущего варианта, поскольку за 3 хода можно узнать любые 5 разрядов.
    Пример с 3 ходами: Игорь говорит 1,2,3,4 и 2,3,5,6. После этого Игорь узнает пару цифр для 2-3 разрядов и возможные цифры для остальных разрядов.
    Пусть ответы a,b,c,d и b,c,e,f.
    Игорь говорит 1,2 и 6. Пусть ответы x,y,z.
    Одна из цифр совпадет с одной из старых цифр b или c. Положим это x=b. Значит 2 разряд это b, а 3 разряд это c.
    Другая цифра совпдает с a или d. Положим y=a, значит 1 разряд это a, следовательно 4 разряд это d.
    Третья цифра совпадет с e или f. Положим z=e, значит 6 разряд это e, следовательно 5 разряд это f.
    Итак, 3 ходов достаточно.
    Пример с 2 ходами очевидно нельзя построить, т.к. за 2 хода можно узнать точные цифры не более, чем 3 разрядов.

    Ответ: `3`.
  • Задача №8-1.
    Найдите наибольшее трёхзначное число, равное сумме своих цифр и квадрата удвоенной суммы своих цифр. Балл за задачу: 11.

    Решение:
    `bar(abc)` - искомое число, `a,b,c` - цифры.
    `bar(abc) = 100a+10b+c`.
    По условию, `100a+10b+c=a+b+c+(2a+2b+2c)^2`.
    `a+b+c=k => 1<=k<=27`.
    `4k^2+k=bar(abc), 100<=4k^2+k<=999`.
    Получаем два промежутка. Откидываем отрицательный промежуток, положительный промежуток округляем до целых чисел, поскольку k целое число.
    Тогда, `5<=k<=15`.
    Осталось найти `f(k)=4k^2+k` для каждого целого `k` из отрезка `[5;15]`.
    `f(5)=105` - не подходит, поскольку `k=1+0+5=6`.
    `f(6)=150` - подходит, поскольку `k=1+5+0=6`.
    `f(7)=203` - не подходит.
    `f(8)=264` - не подходит.
    `f(9)=333` - подходит, поскольку `k=3+3+3=9`.
    `f(10)=410`, не подходит.
    `f(11)=495`, не подходит.
    `f(12)=588`, не подходит.
    `f(13)=689`, не подходит.
    `f(14)=798`, не подходит.
    `f(15)=915`, подходит, поскольку `k=9+1+5=15`.
    Наибольшее число это `915`.

    Ответ: `915`.

    Задача №8-2.
    Найдите наименьшее трёхзначное число, равное сумме своих цифр и квадрата удвоенной суммы своих цифр. Балл за задачу: 11.

    Решение:
    См. решение первого типа.

    Ответ:
    `150`.
  • Задача №9-1.
    Рассмотрим алфавит из 2 букв. Словом будем считать любое конечное сочетание букв. Назовем слово непроизносимым, если в нем встречается больше 2 одинаковых букв подряд. Сколько всего существует непроизносимых слов из 7 букв.

    Решение:
    1) Пусть алфавит состоит из букв 'х' и 'у'. Выпишем все слова из 2 букв: хх, ху, ух, уу.
    Рассмотрим хх: если мы допишем х то получим ххх - непроизносимое слово, если допишем у то получим хху - произносимое слово.
    Рассмотрим ху: если мы допишем х то получим хух - произносимое слово, если допишем у то получим хуу - произносимое слово.
    Слова 1го типа - это произносимые слова, при этом к ним можно дописать только 1 букву чтобы получилось произносимое слово длиннее на 1.  
    Слова 2го типа - это произносимые слова, при этом к ним можно дописать 2 разные буквы чтобы получилось произносимое слово длиннее на 1.  
    Слова хх и уу - слова 1го типа, а ху и ух - слова 2го типа.
    Произносимые слова 1го типа заканчиваются на 2 одинаковые буквы, а 2го типа - на разные.
    2) Рассмотрим как меняется число произносимых слов при увеличении длины слова на 1. Если к непроизносимому слову добавить какую-либо букву, то новое слово также будет непроизносимым. К произносимому слову 1го типа можно добавить только 1 букву, чтобы получилось произносимое слово, при этом новое слово будет произносимым словом 2го типа.
    К произносимому слову 2го типа можно добавить только 2 буквы, чтобы получилось произносимое слово, при этом 1 новое слово будет произносимым словом 1го типа и 1 новое слово будет произносимым словом 2го типа.
    Пусть a_i - число произносимых слов 1го типа длины i, b_i - число произносимых слов 2го типа длины i.
    Тогда a_i+1 = b_i, b_i+1=a_i+b_i.
    3) составим таблицу:

    i | a_i | b_i
    2 |   2 |   2
    3 |   2 |   4
    4 |   4 |   6
    5 |   6 |  10
    6 |  10 |  16
    7 |  16 |  26
    Произносимых слов длины 7: 16 + 26 = 42.
    Всего слов длины 7: 2^7=128.
    Тогда непроизносимых слов длины 7: 128-42=86.

    Ответ: `86`.

    Задача №9-2.
    Рассмотрим алфавит из 2 букв. Словом будем считать любое конечное сочетание букв. Назовем слово непроизносимым, если в нем встречается больше 2 одинаковых букв подряд. Известно, что N-буквенных произносимых слов ровно 110. Чему равно N?

    Решение:
    1) Пусть алфавит состоит из букв 'х' и 'у'. Выпишем все слова из 2 букв: хх, ху, ух, уу.
    Рассмотрим хх: если мы допишем х то получим ххх - непроизносимое слово, если допишем у то получим хху - произносимое слово.
    Рассмотрим ху: если мы допишем х то получим хух - произносимое слово, если допишем у то получим хуу - произносимое слово.
    Слова 1го типа - это произносимые слова, при этом к ним можно дописать только 1 букву чтобы получилось произносимое слово длиннее на 1.  
    Слова 2го типа - это произносимые слова, при этом к ним можно дописать 2 разные буквы чтобы получилось произносимое слово длиннее на 1.  
    Слова хх и уу - слова 1го типа, а ху и ух - слова 2го типа.
    Произносимые слова 1го типа заканчиваются на 2 одинаковые буквы, а 2го типа - на разные.
    2) Рассмотрим как меняется число произносимых слов при увеличении длины слова на 1. Если к непроизносимому слову добавить какую-либо букву, то новое слово также будет непроизносимым. К произносимому слову 1го типа можно добавить только 1 букву, чтобы получилось произносимое слово, при этом новое слово будет произносимым словом 2го типа.
    К произносимому слову 2го типа можно добавить только 2 буквы, чтобы получилось произносимое слово, при этом 1 новое слово будет произносимым словом 1го типа и 1 новое слово будет произносимым словом 2го типа.
    Пусть a_i - число произносимых слов 1го типа длины i, b_i - число произносимых слов 2го типа длины i.
    Тогда a_i+1 = b_i, b_i+1=a_i+b_i.
    3) составим таблицу:
    i | a_i | b_i
    2 |   2 |   2
    3 |   2 |   4
    4 |   4 |   6
    5 |   6 |  10
    6 |  10 |  16
    7 |  16 |  26
    8 |  26 |  42
    9 |  42 |  68
    Произносимых слов длины `9`: `42 + 68 = 110 => N=9`.

    Ответ: `N=9`.
  • Задача №10.
    Какое максимальное количество шашек можно расставить на шахматной доске, чтобы они являлись вершинами выпуклого многоугольника?

    image

    Ответ: `13`.

Рассылка решений заочных туров олимпиад по математике