Рассылка решений заочных туров олимпиад по математике

Подписывайтесь на нашу рассылку решений заочных туров всех олимпиад по математике: Ломоносов, Покори Воробьевы горы, Высшая проба, Физтех 2018 и другие перечневые олимпиады.

Открытая олимпиада школьников по математике 2017-2018 (ИТМО) / Задания и решения отборочного этапа


  • Сезон олимпиад 2017-2018 открыт!
    Идет запись на наши курсы подготовки к олимпиадам по математике с гарантированным результатом.
    image
    1. Индивидуальные занятия и консультации.
    2. Помощь в прохождении заочных туров олимпиад. Одна олимпиада 1-5 тыс. руб.
    3. Помощь эксперта на очных турах олимпиад. Одна олимпиада от 30 тыс. руб.
    4. Гарантия успешного результата (курсы ведутся пятый сезон).

    Стоимость курсов от 3000 до 25000 руб. в месяц. Стандартный курс - 10000 руб. в месяц. Длительность курсов - 6 месяцев.
    В составе стандартного курса заочные туры 10 олимпиад и очные туры 2 олимпиад.
    Посмотреть тарифные планы и подробную информацию по курсам подготовки.


    Открытая олимпиада школьников по математике 2017-2018 вошла в перечень олимпиад этого года.
    Уровень - 2.

    Отборочный этап


    Отборочный этап проводится в дистанционной форме с 20 ноября по 12 декабря.
    Предлагается 10 заданий различной сложности и разного веса (от 1 до 4 баллов). Общая сумма баллов - 29.
    Предполагаемый проходной - 15+.
    Ниже выложены решения одного из вариантов + алгоритмы общих решений, по которым легко получить ответ своего варианта задания.
    Длительность отборочного этапа - 3 часа, время начала выполнения работы определяет сам абитуриент.
    Подробные решения не требуются, достаточно ответов, но ответы должны быть введены в соответствии с инструкциями (по каждому номеру есть своя инструкция по вводу ответа).
    Заметим, что сложность задач не совсем соответствует баллам за задачи. Начинайте с самых простых задач.

    Открытая олимпиада школьников по математике 2017-2018. Заключительный этап.


    Заключительный этап в очной форме будет проведен 20 марта (предварительная дата).
    Города проведения очного тура:
    Москва, Санкт-Петербург, Екатеринбург, Иркутск, Красноярск, Челябинск, Саратов, Саранск, Белогород.
    Тема будет дополняться при поступлении новой информации.
  • Задача №1.
    Многочлен четвёртой степени равен квадрату своей второй производной. Известно, что коэффициент при `x^3`​​ в этом многочлене равен `5`. Найдите коэффициент при `x^2`.

    Решение:
    Решим задачу в общем случае, пусть коэффициент при `x^3` равен `k`.
    Тогда, `f(x)=ax^4+kx^3+bx^2+cx+d`, где `a!=0`, поскольку это многочлен четвертой степени.
    `f'(x)=4ax^3+3kx^2+2bx+c`,
    `f''(x)=12ax^2+6kx+2b=g(x)`.
    По условию, `f(x)=g^2(x)`.
    `g^2(x)=144a^2x4+144akx^3+(48ab+36k^2)x^2+24bkx+4b^2`.
    Приравняем коэффициенты при соотв. степенях:
    `144a^2=a, 144ak=k, 48ab+36k^2=b, 24bk=c, 4b^2=d`.
    `a!=0 => 144a=1 => a=1/144`.
    `b(1-48a)=36k^2`,
    `b*(1-1/3)=36k^2`,
    `b=54k^2`.
    По условию, `k=5 => b=1350`.

    Ответ: `1350` или `54k^2`, если в условии коэффициент при `x^3` равен `5`.
  • Задача №2.
    На пол поставили кубик со стороной `1`, рядом с ним кубик со стороной `2`, рядом с ним кубик со стороной `3` и т.д. Оказалось, что объем получившейся лестницы равен `396900`. Какое количество кубиков было поставлено?

    Решение:
    По условию, `1^3+2^3+...+n^3=396900`.
    Надо найти `n`.
    Используем формулу `1^3+2^3+...+n^3=(n^2(n+1)^2)/4`.
    Эту формулу легко доказать по индукции или же можно вывести напрямую.
    `n^2(n+1)^2=4*396900`.
    `(n(n+1))^2=1260`,
    `n(n+1)=1260`,
    `4n(n+1)=5040`,
    `(2n+1)^2=5041`,
    `2n+1=71 => n=35`.

    Ответ: `35`.
    Остальные варианты решаются аналогично, отличия только в `n`.
    Если вместо `396900` дали число `A`, то в ответе будет `(sqrt(4sqrt(4A)+1)-1)/2` (должно получиться целое число).
  • Задача №3.
    `ABCD` — трапеция с основаниями `AD = 6` и `BC = 10`. Оказалось, что середины всех четырёх сторон трапеции лежат на одной окружности. Найдите её радиус. Если правильных ответов несколько, перечислите их в любом порядке через точку с запятой.

    Решение:
    Середины сторон трапеции образуют параллелограмм. По условию, это вписанный параллелограмм.
    Как известно, вписанный параллелограмм является прямоугольником, а его диагональ равна диаметру окружности.
    Одна из диагоналей прямоугольника является средней линией трапеции.
    `d=(6+10)/2=8 => r=1/2d=4`.

    Ответ: `4`. Если в условии дана трапеция с основаниями `a,b`, то ответом будет число `(a+b)/4`.
  • Задача №4.
    Дан равногранный тетраэдр, длины рёбер которого — целые числа. Два из этих рёбер имеют длины `9` и `11`. Какое наибольшее значение может принимать периметр тетраэдра?

    Решение:
    В равногранном тетраэдре скрещивающиеся ребра попарно равны. Значит есть еще два ребра с длинами `9` и `11`.
    Пусть длина третьей пары ребер равна `k`, где `k` - натуральное число.
    Каждая грань представляет собой треугольник со сторонами `9,11,k`.
    Также известно, что развертка (по трех сходящимся ребрам) равногранного тераэдра представляет собой остроугольный треугольник, который подобен (с коэффициентом `2`) грани терэадра.
    Значит, `k^2<9^2+11^2=202 => k<=14`, в силу целостности числа.
    При `k=14` получаем максимальный периметр тетраэдра, при этом все условия задачи выполнены.
    `P=2*(9+11+14)=68`.
    В общем случае пусть нам даны длины ребер `a` и `b` (при этом `a^2+b^2` не является точным квадратом), тогда `k=[sqrt(a^2+b^2)]` (целая часть числа), а периметр равен `2*(a+b+[sqrt(a^2+b^2)])`.
    Если же `a^2+b^2=n^2`, где `n` целое число, то `k=n-1`.

    Ответ: `78`.
  • Задача №5.
    Функция `f(x)` определена для `x > 0` и такова, что `f(x) + f(y) = f(xy)(x+y)`. Известно, что `f(3) = 15`. Найдите `f(5)`.

    Решение:
    `y=1 => f(x)+f(1)=f(x)(x+1)`,
    `f(1)=f(x)*x => f(x)=c/x`, где `c` - некая константа.
    Функция определена при `x>0`, поэтому деление на `x` возможно.
    По условию, `f(3)=15 => c/3=f(3)=15 => c=45`.
    Итак, `f(x)=45/x => f(5)=9`.
    Решение в общем случае:
    Аналогично находим, что `f(x)=c/x`.
    Если дано, что `f(a)=b => c/a=b => c=ab`.
    Требуется найти `f(d)`:
    `f(d)=c/d=(ab)/d`.

    Ответ: `9` или `(ab)/d`, если в условии дано `f(a)=b` и надо найти `f(d)`.
  • Задача №6.
    Найдите все положительные решения системы уравнений.
    `x_1 + x_2 = 5x_3^2`;
    `x_2 + x_3 = 5x_4^2`;
    ...
    `x_2015 + x_2016 = 5x_2017^2`
    `x_2016 + x_2017 = 5x_1^2`
    `x_2017 + x_1 = 5x_2^2`
    В ответе укажите значение `x_1`. Если правильных ответов несколько, перечислите их в любом порядке через точку с запятой.

    Решение:
    Решим задачу в общем случае, вместо `5` используем коэффициент `k`. Отличия задач разных вариантов только в значении `k`.
    Ищем только положительные решения, поэтому можем считать, что `x_i+x_j>0` для всех `i,j`.
    Пусть `f(i,j)=1` если `x_i-x_j>0`,
    `f(i,j)=-1` если `x_i-x_j<0`,
    `f(i,j)=0` если `x_i=x_j`.
    Если вычесть из первого уравнения второе, получим:
    `x_1-x_3=5(x_3-x_4)(x_3+x_4) => f(1,3)=f(3,4)`.
    Пусть `f(1,2)=f(2,3)=1`.
    Тогда, `f(1,3)=1 => f(3,4)=1`.
    Значит, `f(2,4)=1 => f(4,5)=1` и т.д.
    По индукции получим, что `x_1>x_2>...>x_2016>x_2017`.
    Тогда, `1=f(2015,2017)=f(2017,1)=-1` - противоречие.
    Аналогично получим противоречие при `f(1,2)=f(2,3)=-1`.
    Пусть `f(1,2)=1, f(2,3)=-1`.
    Если `f(1,3)=-1 => f(3,4)=-1`, значит `x_2<x_3<x_4`, снова получим противоречие.
    Следовательно, `f(1,3)=1 => f(3,4)=1`.
    Аналогично, `f(2,4)=-1 => f(4,5)=-1`.
    По индукции получим, что `f(n,n+1)` меняют знак с каждым шагом.
    `f(2015,2016)=1, f(2016,2017)=-1, f(2017,1)=1, f(1,2)=-1` - снова противоречие.
    Итак, `f(1,2)=0` или `f(2,3)=0`. Отсюда получим, что `f(i,j)=0` при всех `i,j`.
    Значит, `x_i=x_i=x => x+x=kx^2`.
    `2x=kx^2, x>0 => 2=kx => x=2/k`.
    В нашей задаче `k=5 => x=2/5`.

    Ответ: `2/5` или `2/k`, если в условии дано `k` вместо `5`. 
  • Задача №7.
    Дан кубический многочлен `p(x)`. Известно, что `p(−6)=30, p(−3)=45, p(−1)=15, p(2)=30`. Найдите площадь фигуры, ограниченной прямыми `x = -6, y = 0, x = 2` и графиком данного многочлена, если также известно, что на промежутке от `-6` до `2` данный многочлен принимает только положительные значения.

    Решение:
    `p(x)=ax^3+bx^2+cx+d`.
    По условию,
    `a*(-6)^3+b*(-6)^2+c*(-6)+d=30`,
    `a*(-3)^3+b*(-3)^2+c*(-3)+d=45`,
    `a*(-1)^3+b*(-1)^2+c*(-1)+d=15`,
    `a*2^3+b*2^2+c*2+d=30`.
    Получаем систему линейных уравнений.
    Чтобы не тратить время на арифметику, найдем решения в Вольфраме (просто вставляем уравнения через запятую):
    http://www.wolframalpha.com/input/?i=a*(-6)%5E3%2Bb*(-6)%5E2%2Bc*(-6)%2Bd%3D30,+a*(-3)%5E3%2Bb*(-3)%5E2%2Bc*(-3)%2Bd%3D45,+a*(-1)%5E3%2Bb*(-1)%5E2%2Bc*(-1)%2Bd%3D15,+a*2%5E3%2Bb*2%5E2%2Bc*2%2Bd%3D30
    Получим, `a=1, b=6, c=-4, d=6`.
    Итак, `p(x)=x^3+6x^2-4x+6`.
    Известно, что `p(x)>0` на отрезке `[-6;2]`, поэтому задача сводится к нахождению интерграла
    `int_(-6)^2p(x)`.
    Первообразная `F(x)=1/4x^4+2x^3-2x^2+6x+C`.
    Площадь равна `F(2)-F(-6)=240`.
    Интеграл можно тоже посчитать в Вольфраме:
    http://www.wolframalpha.com/input/?i=integral(x%5E3%2B6x%5E2-4x%2B6),+-6%3C%3Dx%3C%3D2

    В общем случае все решается аналогично.

    Ответ:
    `240`.
  • Задача №8.
    Решите неравенство: `1/(sqrt(x) + sqrt(x-1)) + 1/(sqrt(x-1) + sqrt(x-2)) + ... + 1/(sqrt(x-99) + sqrt(x-100)) > 2`
    Ответ запишите в виде промежутка. Например, промежуток `(-1; 2]` означает, что `1<x<=2`. Если граница промежутка «бесконечность», используйте букву Б.

    Решение:
    ОДЗ: `x>=100`.
    Рассмотрим произвольную дробь и преобразуем ее методом сопряженного множителя:
    `1/(sqrt(x-k)+sqrt(x-k-1))=(sqrt(x-k)-sqrt(x-k-1))/(x-k-(x-k-1))=sqrt(x-k)-sqrt(x-k-1)`.
    Тогда, левая часть неравенства запишется в таком виде:
    `sqrtx-sqrt(x-1)+sqrt(x-1)-sqrt(x-2)+...+`
    `+sqrt(x-98)-sqrt(x-99)+sqrt(x-99)-sqrt(x-100)=`
    `=sqrtx-sqrt(x-100)`. Сократились все слагаемые, кроме первого и последнего.
    Итак, `sqrtx-sqrt(x-100)>2`. Можно решить неравенство в лоб или проще.
    Снова используя метод сопряженного множителя, получим:
    `100/(sqrtx+sqrt(x-100))>2 => sqrtx+sqrt(x-100)<50`.
    Первое неравенство запишем в виде:
    `sqrt(x-100)-sqrt(x)< -2`.
    Формально неравенства не складывают (как уравнения, например), но в данном случае можем их сложить, поскольку это одно и то же неравенство.
    `2sqrt(x-100)<48 => sqrt(x-100)<24`,
    `x-100<576 => x<676`.
    Итак, `x in [100;676)`.

    Ответ:
    `[100;676)`.
  • Задача №9.
    В треугольнике `ABC` угол `C` в два раза меньше угла `B`. `B B_1`​​ — биссектриса угла `B`, `D` — точка пересечения описанной окружности треугольника `AB B_1`​ и стороны `BC`. `BD = 14, CD = 18`. Найдите длину `AC`.
    Если правильных ответов несколько, перечислите их в любом порядке через точку с запятой.

    Решение:
    Пусть `BD=a, CD=b`. Решим задачу в общем случае.
    `AC=x`.
    `CA*CB_1=CB*CD=b(a+b)`.
    `CB_1=(b(a+b))/x`.
    Тогда, `AB_1=AC-CB_1=x-(b(a+b))/x`.
    Заметим, что `DeltaABC ~ DeltaAB B_1` (по двум углам).
    Значит, `(AB)/(AB_1)=(AC)/(AB) => AB^2=AC*AB_1 => AB=sqrt(x^2-b(a+b))`.
    С другой стороны, `(AB)/(AB_1)=(BC)/(CB_1)`,
    `AB=AB_1*(BC)/(CB_1)=(x-(b(a+b))/x)*(a+b)*x/(b(a+b))`,
    `AB=(x^2-b(a+b))/b`.
    Получили уравнение:
    `(x^2-b(a+b))/b=sqrt(x^2-b(a+b))`,
    `sqrt(x^2-b(a+b))=b`, т.к. `sqrt(x^2-b(a+b)>0`, иначе `AB=0`.
    `x^2=b^2+b(a+b)`,
    `x=sqrt(2b^2+ab)`. Тогда `AB=b`.
    Из условия следует, что окружность пересекает сторону `BC`.
    Краевой случай достигается при прямом угле `B`, тогда окружность проходит через точку `B`.
    Если `/_B>pi/2 =>` окружность не пересекает сторону `BC` (пересечет луч `BC`).
    Итак, `/_B<pi/2`.
    Значит, `AC^2<AB^2+BC^2`.
    `2b^2+ab<b^2+(a+b)^2=2b^2+2ab+a^2` - неравенство всегда выполнено.
    Значит, `x=sqrt(2b^2+ab)` подходит.

    Ответ: `30`. Если в условии даны числа `a,b` (условия могут различаться еще в буквах, но решение будет такое же), тогда ответ `sqrt(2b^2+ab)`.
  • Задача №10.
    Сколько существует способов разрезать горизонтальный прямоугольник 2х11 на прямоугольники 1х2 (горизонтальные и вертикальные) и 1х3 (горизонтальные, так как вертикальные не помещаются)?

Рассылка решений заочных туров олимпиад по математике