Рассылка решений заочных туров олимпиад по математике

Подписывайтесь на нашу рассылку решений заочных туров всех олимпиад по математике: Ломоносов, Покори Воробьевы горы, Высшая проба, Физтех 2018 и другие перечневые олимпиады.

Объединенная межвузовская математическая олимпиада 2017-2018 / «ОММО» 2018 / Задания и решения


  • Сезон олимпиад 2017-2018 открыт!
    Идет запись на наши курсы подготовки к олимпиадам по математике с гарантированным результатом.
    image
    1. Индивидуальные занятия и консультации.
    2. Помощь в прохождении заочных туров олимпиад. Одна олимпиада 1-5 тыс. руб.
    3. Помощь эксперта на очных турах олимпиад. Одна олимпиада от 30 тыс. руб.
    4. Гарантия успешного результата (курсы ведутся пятый сезон).

    Стоимость курсов от 3000 до 25000 руб. в месяц. Стандартный курс - 10000 руб. в месяц. Длительность курсов - 6 месяцев.
    В составе стандартного курса заочные туры 10 олимпиад и очные туры 2 олимпиад.
    Посмотреть тарифные планы и подробную информацию по курсам подготовки.


    Объединенная межвузовская математическая олимпиада 2017-2018. «ОММО» 2018. Задания и решения по математике.

    Объединенная межвузовская математическая олимпиада 2017-2018


    Стартовала «Объединенная межвузовская математическая олимпиада» 2017-2018. В прошлом учебном году никаких принципиальных изменений не произошло. Уровень олимпиады остался прежним - 2-ой. Особенностью данной олимпиады является большое число участников (больше 5000 абитуриентов) и призеров (почти 1000). Критерии получения дипломов тоже достаточно низкие. В прошлом учебном году для диплома третьей степени было достаточно 4 задач (из 10), для второй степени - 6 задач, для 1 степени - 7 задач.
    Данная олимпиада дает льготы почти во все вузы, кроме, возможно МГУ и НИУ ВШЭ. При этом часто льгота бывает первого порядка, т.е. поступление без экзаменов на любые специальности, где профильный предмет - математика.
    Задания и решения олимпиады по математике «ОММО 2018» (отборочный этап) выкладываются на нашем форуме, в этой теме.

    Задания и решения олимпиады «ОММО» за прошлые годы


    Олимпиада «ОММО» 2013. Задания и решения отборочного тура.
    Олимпиада «ОММО» 2013. Задания и решения всех вариантов очного тура.
    Олимпиада «ОММО» 2014. Задания и решения отборочного тура.
    Олимпиада «ОММО» 2014. Задания и решения всех вариантов очного тура.
    Олимпиада «ОММО» 2015. Задания и решения всех вариантов очного тура.
    Олимпиада «ОММО» 2016. Задания и решения всех вариантов заочного тура.
    Олимпиада «ОММО» 2016. Задания и решения всех вариантов очного тура.

    Олимпиада «ОММО» 2018. Отборочный этап.


    Отборочный этап Объединенной межвузовской олимпиады по математике проводится в заочной форме. Необходимо пройти регистрацию на сайте Единой регистрации олимпиад. После регистрации вам будут доступны 6 заданий. Время решения не ограничено. Достаточно ввести три правильных ответа, чтобы пройти на очный тур олимпиады. Полные решения отправлять нет необходимости. Задания отборочного этапа достаточно простые. Посмотрите задания и решения отборочного этапа олимпиады «ОММО» 2016 - Объединенная межвузовская олимпиада по математике 2015-2016.
    Как правило, вариант заданий только один. Отборочный тур олимпиады «ОММО» - один из наиболее простых, в частности, этим объясняется столько большое число участников очного тура. Отборочный тур начинается в ноябре-декабре и завершается 31 января 2018 года.
    После успешного прохождения отборочного тура вы сможете пройти регистрацию на очный тур Объединенной межвузовской математической олимпиады 2017-2018. Места проведения олимпиады - Москва (до 10 различных мест проведения), Московская область и несколько регионов. Вы должны заранее выбрать место, где вы будете писать очный тур олимпиады.

    Объединенная межвузовская олимпиада по математике 2017-2018. Очный тур.


    Очный тур олимпиады ОММО 2018 состоится 4 февраля 2018 года.
    Материалы по подготовке к очному туру:
    Задания №1 и №6
    Теория чисел, делимость, степени, остатки
    Системы уравнений, задачи с параметром, графики, функции
  • Задача №1.
    Компания друзей сыграла `20` партий в нарды (в каждой партии участвуют двое, ничьих не бывает). Располагая всего одним комплектом для игры, они придерживались такого порядка: выигравший очередную партию пропускал не более трех, а проигравший - более трёх следующих партий. Какое наименьшее число игроков могло быть в этой компании?

    Решение:
    Построим пример с `6` игроками:
    `1` выиграл у `2, 3, 4, 5` и `6`. Всего `5` партий.
    Далее `1` снова выиграл у остальных игроков в том же порядке.
    `4` таких цикла дает `20` партий.
    Пусть у нас `5` игроков.
    Если некто выиграл `4` партии у остальных, тогда никто из них не сможет сыграть в следующей партии, а значит всего `4` партий.
    Без ограничений общности можем считать, что `1` выиграл первую партию.
    Пусть он выиграл первые три партии и проиграл последнюю. В следующей партии не смогут сыграть `2,3,4` и он сам, значит больше партий не состоится.
    Пусть он выиграл первые две партии и проиграл третью. В следующей партии смогут сыграть только `4` и `5`. Победителю снова не с кем будет сыграть.
    Пусть он выиграл первую партию и проиграл вторую. В следующей партии смогут сыграть `3, 4` и `5`. После двух встреч победителю снова не с кем будет сыграть.
    Если игроков меньше `5`, можем к ним добавить недостающее до 5 число игроков и получим противоречие.

    Ответ: `6`.

    Задача №2.
    Хорошо известно, что наименьшие периоды функций `cosx` и `sinx` равны `2pi`. Найдите наименьший период функции `cos(sinx)`. Если необходимо, округлите ответ с точностью до `0,01`. Для ответа "периода нет", вбейте `-1`.

    Решение:
    `T` - период функции `f(x) iff f(x+T)=f(x)` для всех `x in Df`.
    `cos(sin(x+T))=cos(sin(x))`,
    `cos(sin(x+T))-cos(sin(x))=0`,
    `-2sin(1/2sin(x+T)+1/2sinx)sin(1/2sin(x+T)-1/2sinx)=0`,
    `sin(x+T)+sinx=2pik или sin(x+T)-sinx=2pik, k in ZZ`.
    Понятно, что `|sin(x+T)+-sinx|<=2 => k=0`.
    Итак, `(sin(x+T)+sinx)(sin(x+T)-sinx)=0`,
    `4sin(x+T/2)cos(T/2)sin(T/2)cos(x+T/2)=0`,
    `sinT*sin(2x+T)=0`,
    `T=pk` или `2x+T=2pik`, второе равенство не может выполняться при всех `x`.
    Итак, `T_min=pi ~~ 3,14`.

    Ответ: `3,14`.

    Задача №3.
    На гранях игрального кубика написаны числа от `1` до `6`. Однако вес кубика распределён неравномерно и вероятность выпадения числа `k` прямо пропорциональна `k`. Кубик бросают два раза подряд. Какова вероятность того, что сумма выпавших чисел будет равняться `7`? Если необходимо, округлите ответ с точностью до `0,01`.

    Решение:
    Сумма исходов равна `1+2+3+4+5+6=21`.
    Вероятность выпадения `k` равна `k/21`.
    `7=1+6=2+5=3+4`.
    Вероятность первого исхода `p_1=2*1/21*6/21`. Коэффициент `2`, поскольку `1+6=6+1`.
    `p_2=2*2/21*5/21, p_3=2*3/21*4/21`.
    `p=p_1+p_2+p_3=2/21^2*(6+10+12)=56/21^2`.
    `p=8/63~~0,13`.

    Ответ: `0,13`.

    Задача №4.
    Найдите наименьшее натуральное число, кратное `99` и записываемое только единицами и двойками.

    Решение:
    `n` - искомое минимальное число.
    `n vdots 99 => n vdots 9 =>` сумма цифр `n` делится на `9`.
    `n vdots 99 => n vdots 11`.
    Следовательно, для цифр `n`:
    Сумма цифр с чередующимися знаками делится на `11`.
    Пусть сумма цифр равна `9`.
    `a_1+...a_k=9`.
    Значит, `a_1+...+(-1)^k*a_k=11K`, где `|11K|<=9 => K=0` - очевидно.
    Пусть `k` - четно. Сложим равенства:
    `2a_1+...+2a_k=9` - противоречие.
    Пусть `k` - нечетно:
    `2a_1+...+2a_(k-1)=9` - снова противоречие.
    Итак, `a_1+...+a_k=18`.
    Минимальное число, очевидно `n=1122222222`.

    Ответ: `1122222222`.

    Задача №5.
    На отрезке `AC` отмечена точка `B`. На отрезках `AB, BC` и `AC`, как на диаметрах, в одной полуплоскости построены полуокружности. Окружность с центром в точке `O` касается все этих полуокружностей (см. рис.). Найдите радиус этой окружности, если `AB = 4, BC = 2`. Если необходимо, округлите ответ с точностью до `0,01`.

    Решение:
    Пусть точки `O_1, O_2, O_3` - центры полуокружностей с диаметрами `AB, BC` и `AC` соотв, `x` - радиус искомой окружности.
    `O_1O_3=AO-AO_1=3-2=1`.
    `O_3O_2=OC-O_2C=3-1=2`.
    `O_1O=2+x, O_3O=AO-x=3-x, O_2O=1+x`.
    По формуле Герона:
    `S_(DeltaO_3O_1O)=sqrt(6x(1-x)), S_(DeltaO_3O_2O)=sqrt(3x(2-x))`.
    Отношение площадей равно `1/2`, значит:
    `sqrt(3x(2-x))=2sqrt(6x(1-x)) => x=6/7 ~~ 0,86`.

    Ответ: `0,86`.

    Задача №6.
    На ребрах `A_1B_1` и `A_1C_1` куба `ABCDA_1B_1C_1D_1` со стороной `4` отмечены точки `X` и `Y` соответственно так, что `A_1X = A_1Y = 1`. Найдите площадь сечения куба плоскостью, проходящей через точки `X, Y` и центр куба.

    Решение:
    Заданное сечение куба с ребром `a = 4` представляет собой шестиугольник в виде двух трапеций, соединённых по большему основанию.
    Длина меньших оснований равна `sqrt2`.
    Большее основание равно длине диагонали грани куба, то есть `4sqrt2`.
    Для определения высоты `h` сечения проведём секущую плоскость по диагонали куба.
    `h=sqrt(4^2+(4sqrt2-2*(sqrt2/2))^2)=sqrt(16+18)=sqrt34`.
    `S=2*(sqrt2+4sqrt2)/2*(sqrt34)/2=5sqrt17 ~~ 20,62`.

    Ответ: `20,62`.
  • Задача №1 (ММО).
    Дети организовали несколько команд для игры в волейбол. Располагая всего одним полем для игры, они придерживались такого порядка: выигравшая очередную игру команда пропускала не более четырёх, а проигравшая — более четырёх следующих игр. В соответствии с такими правилами они провели `10` игр. Какое наименьшее число команд могли организовать дети? В волейболе ничьих не бывает.

    Решение:
    Команды назовем `1,2,3,...,n`.
    Без ограничения общности можем считать, что в первой игре `1` выиграл у `2`.
    Рассмотрим следующие `5` игр. В них должна сыграть команда `1` и не сыграет команда `2`.
    После каждой игры есть проигравший, который не может больше сыграть в этих `5` играх. Значит, в этих `5` играх примут участие не менее `6` различных команд.
    А всего команд не менее `7` (включая номер `2`).
    Пример с `7` командами, которые провели `10` матчей, построить легко.

    Ответ: `7`.

    Задача №2 (ММО).
    Сколько существует натуральных чисел, делящихся на `11`, меньших `100 000`, сумма цифр которых равна `11`?

    Решение:
    `n<=99999`, сумма цифр `n` равна `11` и `n vdots 11`.
    `a_1+...+a_k=11`,
    `a_1+...+(-1)^(k+1)a_k=11K` - признак делимости на `11`.
    Очевидно, что `|11K|<=11 => K=0, +-1`.
    Пусть `K=-1 => a_1=0`, чего не может быть.
    Пусть `K=0 => a_1+...+(-1)^(k+1)a_k=0`.
    Если `k` четно `=> 2a_1+2a_3+...+2a_(k-1)=11` - противоречие.
    Если `k` нечетно `=> 2a_1+2a_3+...+2a_k=11` - противоречие.
    Пусть `K=1 =>` все цифры с четными номерами равны `0`.
    `5` цифр: `n=bar(a0b0c)`, где `a+b+c=11`.
    `b+c=11-a in [2;10]`.
    `b+c=2` - три варианта.
    `b+c=3` - `4` варианта.
    `b+c=4` - `5` вариантов.
    `b+c=5` - `6` вариантов и т.д.
    Всего `3+4+5+...+11 = 63` вариантов. Вычтем пары `(10;0), (0;10)`, получим `61` пару.
    `4` цифры: `n=bar(a0b0)`, где `a+b=11` - `8` пар решений.
    `3` цифры: `n=bar(a0b)` - `8` пар решений.
    `2` цифры: `n=ba(a0)` - нет решений.
    Итак, всего получили `61+8+8=77` решений.

    Ответ: `77`.

    Задача №3 (ММО).
    Из интервала `(0,1)` наугад выбирается два числа `x` и `y`. Какова вероятность, что `[log_2x] = [log_2y]`? Если необходимо, округлите ответ с точностью до `0,01`. Через `[a]` обозначено наибольшее целое число, не превосходящее `a`.

    Решение:
    Пусть `[log_2x]=t`, где `x in (0,1)`.
    `x in [1/2;1) => t=-1`.
    `x in [1/4;1/2) => t=-2`.
    По индукции, `x in [1/2^n;1/2^(n-1)) => t=-n`.
    Длина отрезка равна `1/2^n`.
    Итак, `[log_2x]=-n` с вероятностью `1/2^n`, где `n` принимает все натуральные значения.
    `[log_2y]=-n` с такой же вероятностью `1/2^n`.
    Значит, `[log_2x]=[log_2y]=-n` с вероятностью `1/2^n*1/2^n=1/4^n`.
    Следовательно, общая вероятность равна
    `p=1/4+1/16+...1/4^n+...=(1/4)/(1-1/4)=1/3 ~~ 0,33`.

    Ответ: `0,33`.

    Задача №4 (ММО).
    На отрезке `AC` отмечена точка `B`. На отрезках `AB, BC` и `AC`, как на диаметрах, в одной полуплоскости построены полуокружности. Окружность с центром в точке `O` касается все этих полуокружностей (см. рис.). Найдите радиус этой окружности, если `AB = 4, BC = 2`. Если необходимо, округлите ответ с точностью до `0,01`.

    Решение:
    Пусть точки `O_1, O_2, O_3` - центры полуокружностей с диаметрами `AB, BC` и `AC` соотв, `x` - радиус искомой окружности.
    `O_1O_3=AO-AO_1=3-2=1`.
    `O_3O_2=OC-O_2C=3-1=2`.
    `O_1O=2+x, O_3O=AO-x=3-x, O_2O=1+x`.
    По формуле Герона:
    `S_(DeltaO_3O_1O)=sqrt(6x(1-x)), S_(DeltaO_3O_2O)=sqrt(3x(2-x))`.
    Отношение площадей равно `1/2`, значит:
    `sqrt(3x(2-x))=2sqrt(6x(1-x)) => x=6/7 ~~ 0,86`.

    Ответ: `0,86`.

    Задача №5 (ММО).
    Найдите последнюю цифру перед запятой в десятичной записи числа `(10^200)/(10^10-3)`.

    Решение:
    `10^200=(10^200-3*10^190)+(3*10^190-3^2*10^180)+...`
    `...+(3^18*10^20-3^19*10^10)+(3^19*10^10-3^20)+3^20`.
    `(10^200)/(10^10-3)=10^190+3*10^180+3^3*10^170+...`
    `...+3^18*10^10+3^19+(3^20)/(10^10-3)`.
    `3^20=9^10<10^10-3`, поскольку `10^10-9^10=(10-9)(10^9+...+9^9)>3`.
    Значит, `[(10^200)/(10^10-3)]=10^190+3*10^180+3^3*10^170+...`
    `...+3^18*10^10+3^19`.
    Достаточно найти последнюю цифру числа `3^19`.
    Степени тройки оканчиваются на `3,9,7,1` и далее по циклу.
    На `7` оканчиваются степени вида `4k+3`.
    `4k+3=19` при `k=4 => 3^19` оканчивается на `7`.

    Ответ: `7`.

    Задача №6 (ММО).
    Радиус основания прямого кругового цилиндра равен `6`, а его высота — `8`. На окружности, ограничивающей верхнее основание, отмечены точки `X` и `Y` так, что одна из дуг с концами в точках `X` и `Y` равняется `120^0`. Найдите площадь сечения цилиндра плоскостью, проходящей через точки `X`, `Y` и центр цилиндра. Если необходимо, округлите ответ с точностью до `0,01`.

    Решение:
    См. решение `6` задачи ОММО.

Рассылка решений заочных туров олимпиад по математике