Рассылка решений заочных туров олимпиад по математике

Подписывайтесь на нашу рассылку решений заочных туров всех олимпиад по математике: Ломоносов, Покори Воробьевы горы, Высшая проба, Физтех 2018 и другие перечневые олимпиады.

Олимпиада «Физтех 2018» / Олимпиада МФТИ по математике 2017-2018 / Задания и решения
  • Решения всех вариантов отборочного этапа олимпиады Физтех 2018 по математике.

    По состоянию на 1 февраля осталось 10 мест на очный тур по математике и 3 места на очный тур по физике. Текущая стоимость очного тура - 40 тыс. руб.
    Запись осуществляется по адресу admin@olympiads.biz.

  • Задача №1.
    Две параболы `y=x^2+ax+b` и `y=–3x^2+cx+d` касаются в точке, лежащей на оси `Ox`. Через точку `D` – вторую точку пересечения первой параболы с осью `Ox` – проведена вертикальная прямая, пересекающая вторую параболу в точке `A`, а общую касательную к параболам – в точке `B`. Найдите отношение `DA:DB`.

    Решение:
    Без ограничения общности можем считать, что точка `(0,0)` - точка касания парабол. Тогда `b=d=0`.
    `x^2+ax=0 => x_=0, x_2=-a`, значит `(-a,0)` - координаты точки `D`.
    Уравнение вертикальной прямой, которая проходит через точку `D`: `x=-a`.
    Пусть `f(x)=x^2+ax, g(x)=-3x^2+cx`.
    По условию, `f'(0)=g'(0) => c=a, g(x)=-3x^2+ax`.
    `x=-a => g(-a)=-3a^2-a^2=-4a^2 => A(-a;-4a^2)`.
    `|DA|=4a^2`.
    Найдем уравнение касательной к обеим параболам:
    `y=f(0)+f'(0)*x=ax`.
    `x=-a => y(-a)=-a^2 => B(-a;-a^2) => |DB|=a^2`.
    `DA:DB=4a^2:a^2=4`.

    Ответ: `4`.

    Задача №1.
    Две параболы `y=x^2+ax+b` и `y=–6x^2+cx+d` касаются в точке, лежащей на оси `Ox`. Через точку `D` – вторую точку пересечения первой параболы с осью `Ox` – проведена вертикальная прямая, пересекающая вторую параболу в точке `A`, а общую касательную к параболам – в точке `B`. Найдите отношение `DA:DB`.

    Решение:
    Без ограничения общности можем считать, что точка `(0,0)` - точка касания парабол. Тогда `b=d=0`.
    `x^2+ax=0 => x_=0, x_2=-a`, значит `(-a,0)` - координаты точки `D`.
    Уравнение вертикальной прямой, которая проходит через точку `D`: `x=-a`.
    Пусть `f(x)=x^2+ax, g(x)=-6x^2+cx`.
    По условию, `f'(0)=g'(0) => c=a, g(x)=-6x^2+ax`.
    `x=-a => g(-a)=-6a^2-a^2=-7a^2 => A(-a;-7a^2)`.
    `|DA|=7a^2`.
    Найдем уравнение касательной к обеим параболам:
    `y=f(0)+f'(0)*x=ax`.
    `x=-a => y(-a)=-a^2 => B(-a;-a^2) => |DB|=a^2`.
    `DA:DB=7a^2:a^2=7`.

    Ответ: `7`.

    Задача №1.
    Две параболы `y=2x^2+ax+b` и `y=–5x^2+cx+d` касаются в точке, лежащей на оси `Ox`. Через точку `D` – вторую точку пересечения первой параболы с осью `Ox` – проведена вертикальная прямая, пересекающая вторую параболу в точке `A`, а общую касательную к параболам – в точке `B`. Найдите отношение `DA:DB`.

    Решение:
    Без ограничения общности можем считать, что точка `(0,0)` - точка касания парабол. Тогда `b=d=0`.
    `2x^2+ax=0 => x_=0, x_2=-a/2`, значит `(-a/2,0)` - координаты точки `D`.
    Уравнение вертикальной прямой, которая проходит через точку `D`: `x=-a/2`.
    Пусть `f(x)=2x^2+ax, g(x)=-5x^2+cx`.
    По условию, `f'(0)=g'(0) => c=a, g(x)=-5x^2+ax`.
    `x=-a/2 => g(-a/2)=-5/4a^2-1/2a^2=-7/4a^2 => A(-a/2;-7/4a^2)`.
    `|DA|=7/4a^2`.
    Найдем уравнение касательной к обеим параболам:
    `y=f(0)+f'(0)*x=ax`.
    `x=-a/2 => y(-a/2)=-1/2a^2 => B(-a/2;-1/2a^2) => |DB|=1/2a^2`.
    `DA:DB=7/4a^2:1/2a^2=7/2`.

    Ответ: `3,5`.

    Задача №1.
    Две параболы `y=2x^2+ax+b` и `y=–3x^2+cx+d` касаются в точке, лежащей на оси `Ox`. Через точку `D` – вторую точку пересечения первой параболы с осью `Ox` – проведена вертикальная прямая, пересекающая вторую параболу в точке `A`, а общую касательную к параболам – в точке `B`. Найдите отношение `DA:DB`.

    Решение:
    Без ограничения общности можем считать, что точка `(0,0)` - точка касания парабол. Тогда `b=d=0`.
    `2x^2+ax=0 => x_=0, x_2=-a/2`, значит `(-a/2,0)` - координаты точки `D`.
    Уравнение вертикальной прямой, которая проходит через точку `D`: `x=-a/2`.
    Пусть `f(x)=2x^2+ax, g(x)=-3x^2+cx`.
    По условию, `f'(0)=g'(0) => c=a, g(x)=-3x^2+ax`.
    `x=-a/2 => g(-a/2)=-3/4a^2-1/2a^2=-5/4a^2 => A(-a/2;-5/4a^2)`.
    `|DA|=5/4a^2`.
    Найдем уравнение касательной к обеим параболам:
    `y=f(0)+f'(0)*x=ax`.
    `x=-a/2 => y(-a/2)=-1/2a^2 => B(-a/2;-1/2a^2) => |DB|=1/2a^2`.
    `DA:DB=5/4a^2:1/2a^2=5/2`.

    Ответ: `2,5`.
  • Задача №2.
    Внутри угла `ABC`, меньшего `135^0`, взяты точки `M` и `N` так, что `/_ABM=/_MBN=/_NBC`, `AM⊥BM` и `AN⊥BN`. Прямая `MN` пересекает луч `BC` в точке `K`. Найдите `BN`, если `BM=50, BK=14`.

    Решение:
    По условию, `/_AMB=/_MBN=/_NBC=alpha, 3alpha<135^0 => alpha<pi/4`.
    `/_AMB=/_ANB=pi/2 =>` вокруг `AMNB` можно описать окружность.
    Значит, `/_NAM=/_MBN=alpha, /_MNA=/_ABM=alpha`.
    `/_BMN=pi-pi/2-alpha-alpha=pi/2-2alpha>0`.
    `/_BKM=pi-2alpha-(pi/2-2alpha)=pi/2`.
    `cos2alpha=(BK)/(BM)=7/25`,
    `2cos^2alpha-1=7/25 => 2cos^2alpha=32/25 => cosalpha=4/5`.
    `BN=(BK)/(cosalpha)=14*5/4=17,5`.

    Ответ: `17,5`.

    Задача №2.
    Внутри угла `ABC`, меньшего `135^0`, взяты точки `M` и `N` так, что `/_ABM=/_MBN=/_NBC`, `AM⊥BM` и `AN⊥BN`. Прямая `MN` пересекает луч `BC` в точке `K`. Найдите `BN`, если `BM=24, BK=3`.

    Решение:
    По условию, `/_AMB=/_MBN=/_NBC=alpha, 3alpha<135^0 => alpha<pi/4`.
    `/_AMB=/_ANB=pi/2 =>` вокруг `AMNB` можно описать окружность.
    Значит, `/_NAM=/_MBN=alpha, /_MNA=/_ABM=alpha`.
    `/_BMN=pi-pi/2-alpha-alpha=pi/2-2alpha>0`.
    `/_BKM=pi-2alpha-(pi/2-2alpha)=pi/2`.
    `cos2alpha=(BK)/(BM)=1/8`,
    `2cos^2alpha-1=1/8 => 2cos^2alpha=9/8 => cosalpha=3/4`.
    `BN=(BK)/(cosalpha)=3*4/3=4`.

    Ответ: `4`.

    Задача №2.
    Внутри острого угла `ABC` взяты точки `M` и `N` так, что `/_ABM=/_MBN=/_NBC`, `AM⊥BM` и `AN⊥BN`. Прямая `MN` пересекает луч `BC` в точке `K`. Найдите `BN`, если `BM=18, BK=7`.

    Решение:
    По условию, `/_AMB=/_MBN=/_NBC=alpha, 3alpha<pi/2 => alpha<pi/6`.
    `/_AMB=/_ANB=pi/2 =>` вокруг `AMNB` можно описать окружность.
    Значит, `/_NAM=/_MBN=alpha, /_MNA=/_ABM=alpha`.
    `/_BMN=pi-pi/2-alpha-alpha=pi/2-2alpha>0`.
    `/_BKM=pi-2alpha-(pi/2-2alpha)=pi/2`.
    `cos2alpha=(BK)/(BM)=7/18`,
    `2cos^2alpha-1=7/18 => 2cos^2alpha=25/18 => cosalpha=5/6`.
    `BN=(BK)/(cosalpha)=7*6/5=8,4`.

    Ответ: `8,4`.

    Задача №2.
    Внутри угла `ABC`, меньшего `135^0`, взяты точки `M` и `N` так, что `/_ABM=/_MBN=/_NBC`, `AM⊥BM` и `AN⊥BN`. Прямая `MN` пересекает луч `BC` в точке `K`. Найдите `BN`, если `BM=25, BK=7`.

    Решение:
    По условию, `/_AMB=/_MBN=/_NBC=alpha, 3alpha<135^0 => alpha<pi/4`.
    `/_AMB=/_ANB=pi/2 =>` вокруг `AMNB` можно описать окружность.
    Значит, `/_NAM=/_MBN=alpha, /_MNA=/_ABM=alpha`.
    `/_BMN=pi-pi/2-alpha-alpha=pi/2-2alpha>0`.
    `/_BKM=pi-2alpha-(pi/2-2alpha)=pi/2`.
    `cos2alpha=(BK)/(BM)=7/25`,
    `2cos^2alpha-1=7/25 => 2cos^2alpha=32/25 => cosalpha=4/5`.
    `BN=(BK)/(cosalpha)=7*5/4=8,75`.

    Ответ: `8,75`.
  • Задача №3.
    Найдите количество целочисленных решений `(a; b; c)` уравнения `150^a*(200/3)^b*2250^c = 225000`, удовлетворяющих условию `|a+b+c|<113`.

    Решение:
    `150=2*3*5^2, 200=2^3*5^2, 2250=2*3^2*5^3, 225000=2^3*3^2*5^5`.
    `2^(a+3b+c)*3^(a-b+2c)*5^(2a+2b+3c)=2^3*3^2*5^5`.
    Следовательно, `{(a+3b+c=3),(a-b+2c=2),(2a+2b+3c=5):}`,
    `b=a+2c-2 => a+3a+6c-6+c=3 => 4a+7c=9`.
    Подстановка в третье уравнение дает такое же равенство.
    `4a+7c=9 => 4a-2=7(1-c) => 4a` дает остаток `2` при делении на `7`.
    Перебором находим, что `a` дает остаток `4` при делении на `7`.
    Итак, `a=7n+4, c=-4n-1, b=-n`, где `n in NN`.
    `|a+b+c|=|7n+4-n-4n-1|=|2n+3|<113`,
    `-113<2n+3<113 => -116<2n<110 => -58<n<55`.
    `n in [-57;54]` - всего `57+1+54=112` целочисленных значений `n`, каждый из которых дает целочисленную тройку `(a,b,c)`.

    Ответ: `112`.

    Задача №3.
    Найдите количество целочисленных решений `(a; b; c)` уравнения `150^a*(200/3)^b*2250^c = 506250`, удовлетворяющих условию `|a+b+c|<91`.

    Решение:
    `150=2*3*5^2, 200=2^3*5^2, 2250=2*3^2*5^3, 506250=2*3^4*5^5`.
    `2^(a+3b+c)*3^(a-b+2c)*5^(2a+2b+3c)=2*3^4*5^5`.
    Следовательно, `{(a+3b+c=1),(a-b+2c=4),(2a+2b+3c=5):}`,
    `b=a+2c-4 => a+3a+6c-12+c=1 => 4a+7c=13`.
    Подстановка в третье уравнение дает такое же равенство.
    `4a+7c=13 => 4a+1=7(2-c) => 4a` дает остаток `6` при делении на `7`.
    Перебором находим, что `a` дает остаток `5` при делении на `7`.
    Итак, `a=7n+5, c=-4n-1, b=-n-1`, где `n in NN`.
    `|a+b+c|=|7n+5-n-1-4n-1|=|2n+3|<91`,
    `-91<2n+3<91 => -94<2n<88 => -47<n<44`.
    `n in [-46;43]` - всего `46+1+43=90` целочисленных значений `n`, каждый из которых дает целочисленную тройку `(a,b,c)`.

    Ответ: `90`.

    Задача №3.
    Найдите количество целочисленных решений `(a; b; c)` уравнения `150^a*(200/3)^b*2250^c = 15000`, удовлетворяющих условию `|a+b+c|<=250`.

    Решение:
    `150=2*3*5^2, 200=2^3*5^2, 2250=2*3^2*5^3, 15000=2^3*3*5^4`.
    `2^(a+3b+c)*3^(a-b+2c)*5^(2a+2b+3c)=2^3*3*5^4`.
    Следовательно, `{(a+3b+c=3),(a-b+2c=1),(2a+2b+3c=4):}`,
    `b=a+2c-1 => a+3a+6c-3+c=3 => 4a+7c=6`.
    Подстановка в третье уравнение дает такое же равенство.
    `4a+7c=6 => 4a+1=7(1-c) => 4a` дает остаток `6` при делении на `7`.
    Перебором находим, что `a` дает остаток `5` при делении на `7`.
    Итак, `a=7n+5, c=-4n-2, b=-n`, где `n in NN`.
    `|a+b+c|=|7n+5-n-4n-2|=|2n+3|<=250`,
    `-250<=2n+3<=250 => -253<=2n<=247 => -126<=n<=123`.
    `n in [-126;123]` - всего `126+1+123=250` целочисленных значений `n`, каждый из которых дает целочисленную тройку `(a,b,c)`.

    Ответ: `250`.

    Задача №3.
    Найдите количество целочисленных решений `(a; b; c)` уравнения `150^a*(200/3)^b*2250^c = 33750`, удовлетворяющих условию `|a+b+c|<=120`.

    Решение:
    `150=2*3*5^2, 200=2^3*5^2, 2250=2*3^2*5^3, 15000=2*3^3*5^4`.
    `2^(a+3b+c)*3^(a-b+2c)*5^(2a+2b+3c)=2*3^3*5^4`.
    Следовательно, `{(a+3b+c=1),(a-b+2c=3),(2a+2b+3c=4):}`,
    `b=a+2c-3 => a+3a+6c-9+c=1 => 4a+7c=10`.
    Подстановка в третье уравнение дает такое же равенство.
    `4a+7c=10 => 4a-3=7(1-c) => 4a` дает остаток `3` при делении на `7`.
    Перебором находим, что `a` дает остаток `6` при делении на `7`.
    Итак, `a=7n+6, c=-4n-2, b=-n-1`, где `n in NN`.
    `|a+b+c|=|7n+6-n-1-4n-2|=|2n+3|<=120`,
    `-120<=2n+3<=120 => -123<=2n<=117 => -61<=n<=58`.
    `n in [-61;58]` - всего `61+1+58=120` целочисленных значений `n`, каждый из которых дает целочисленную тройку `(a,b,c)`.

    Ответ: `120`.
  • Задача №4.
    Дана последовательность `y_n=n(n+1)`. Известно, что разность двух членов этой последовательности с номерами `k` и `l` (`l<157<k`) делится на `3^12`. Найдите наименьшее возможное значение суммы `l+k`.

    Решение:
    `y_k-y_l=k(k+1)-l(l+1)=(k-l)(k+l+1)`.
    Пусть `k-l=A*3^a, k+l+1=B*3^(12-a)`.
    `k=(B*3^(12-a)+A*3^a-1)/2`,
    `l=(B*3^(12-a)-A*3^a-1)/2`.
    По условию, `B*3^(12-a)-A*3^a-1<157*2`,
    `3<=B*3^(12-a)-A*3^a<315`.
    `a=6 => 3^6*(B-A)<315`, но `3^6*(B-A)>=3^6=729` - нет решений.
    `a=5 => k+l+1=B*3^7>=3^7`.
    Минимум достигается при `B=1, 9B-A<315/243`, что верно при `A=8`. `k,l` - целые.
    При `a<=4` получим, что `k+l+1>3^7`.
    `a>=7 => B-A*3^(2a-12)>0 => B>A*3^(2a-12)`,
    `k+l+1>A*3^(2a-12)*3^(12-a)=A*3^a>=3^7`.
    Итак, `min(k+l)=3^7-1=2186`.

    Ответ: `2186`.

    Задача №4.
    Дана последовательность `y_n=n(n+1)`. Известно, что разность двух членов этой последовательности с номерами `k` и `l` (`l<125<k`) делится на `3^11`. Найдите наименьшее возможное значение суммы `l+k`.

    Решение:
    `y_k-y_l=k(k+1)-l(l+1)=(k-l)(k+l+1)`.
    Пусть `k-l=A*3^a, k+l+1=B*3^(11-a)`.
    `k=(B*3^(11-a)+A*3^a-1)/2`,
    `l=(B*3^(11-a)-A*3^a-1)/2`.
    По условию, `B*3^(11-a)-A*3^a-1<125*2`,
    `3<=B*3^(11-a)-A*3^a<251`.
    `a=6 => 3^5*(B-3A)<251 => B-3A<251/243 => B-3A=1`.
    Минимум достигается при `B=4, A=1 => k+l+1=4*3^5`.
    `k+l=971`.
    `a=5 => 3^5*(3B-A)<251 => 3B-A=1`.
    Минимум достигается при `B=1, A=2 => k+l+1=3^6`.
    `k+l=728`, причем `k,l` принимают целые значения.
    При `a<=4` получим, что `k+l+1>=3^7`.
    `a>=7 => B-A*3^(2a-11)>0 => B>A*3^(2a-11)`,
    `k+l+1>A*3^(2a-11)*3^(11-a)=A*3^a>=3^7`.
    Итак, `min(k+l)=3^6-1=728`.

    Ответ: `728`.

    Задача №4.
    Дана последовательность `y_n=n(n+1)`. Известно, что разность двух членов этой последовательности с номерами `k` и `l` (`l<115<k`) делится на `3^11`. Найдите наименьшее возможное значение суммы `l+k`.

    Решение:
    `y_k-y_l=k(k+1)-l(l+1)=(k-l)(k+l+1)`.
    Пусть `k-l=A*3^a, k+l+1=B*3^(11-a)`.
    `k=(B*3^(11-a)+A*3^a-1)/2`,
    `l=(B*3^(11-a)-A*3^a-1)/2`.
    По условию, `B*3^(11-a)-A*3^a-1<115*2`,
    `3<=B*3^(11-a)-A*3^a<231`.
    `a=5 => 3^5*(3B-A)<231`, но `3^5*(3B-A)>=3^5=243` - нет решений.
    `a=6` - аналогично.
    `a=4 => k+l+1=B*3^7>=3^7`.
    Минимум достигается при `B=1, 27B-A<231/81`, что верно при `A=26`. `k,l` - целые.
    При `a<=3` получим, что `k+l+1>3^7`.
    `a>=7 => B-A*3^(2a-11)>0 => B>A*3^(2a-11)`,
    `k+l+1>A*3^(2a-11)*3^(11-a)=A*3^a>=3^7`.
    Итак, `min(k+l)=3^7-1=2186`.

    Ответ: `2186`.

    Задача №4.
    Дана последовательность `y_n=n(n+1)`. Известно, что разность двух членов этой последовательности с номерами `k` и `l` (`l<100<k`) делится на `3^10`. Найдите наименьшее возможное значение суммы `l+k`.

    Решение:
    `y_k-y_l=k(k+1)-l(l+1)=(k-l)(k+l+1)`.
    Пусть `k-l=A*3^a, k+l+1=B*3^(10-a)`.
    `k=(B*3^(10-a)+A*3^a-1)/2`,
    `l=(B*3^(10-a)-A*3^a-1)/2`.
    По условию, `B*3^(10-a)-A*3^a-1<100*2`,
    `3<=B*3^(10-a)-A*3^a<201`.
    `a=5 => 3^5*(B-A)<201`, но `3^5*(B-A)>=3^5=243` - нет решений.
    `a=4 => k+l+1=B*3^6>=3^6`.
    Минимум достигается при `B=1, 9B-A<201/81`, что верно при `A=8`. `k,l` - целые.
    При `a<=3` получим, что `k+l+1>3^6`.
    `a>=6 => B-A*3^(2a-10)>0 => B>A*3^(2a-10)`,
    `k+l+1>A*3^(2a-10)*3^(10-a)=A*3^a>=3^6`.
    Итак, `min(k+l)=3^6-1=728`.

    Ответ: `728`.
  • Задача №5.
    Известно, что для всех пар положительных чисел `(x; y)`, для которых выполняются равенство `x+y=9` и неравенство `x^2+y^2>43`, выполняется и неравенство `x^5+y^5>m`. Какое наибольшее значение может принимать `m`?

    Решение:
    Достаточно найти минимум функции `f(x,y)=x^5+y^5` при выполнении условий `x>0, y>0, x+y=9, x^2+y^2>=43`.
    `x, y in (0;9), y=9-x`:
    `x^2+(9-x)^2>=43`,
    `2x^2-18x+38>=0`,
    `x^2-9x+19>=0`,
    `D=81-76=5`,
    `x_(1,2)=(9+-sqrt5)/2`,
    `x in (0;(9-sqrt5)/2]uu[(9+sqrt5)/2;9)`.
    `f(x)=x^5+(9-x)^5`.
    `f'(x)=5x^4-5(9-x)^4`,
    `f'(x)=5(x^2-(9-x)^2)(x^2+(9-x)^2)=45(2x-9)(x^2+(9-x)^2)`.
    `x^2+(9-x)^2>0` при всех `x`, поэтому `x_min=9/2`.
    Заметим, что `(9-sqrt5)/2<9/2<(9+sqrt5)/2`.
    Также `f((9+sqrt5)/2)=f((9-sqrt5)/2)=m`.
    `m=1/32(9+sqrt5)^5+1/32(9-sqrt5)^5=6039`.

    Ответ: `6039`.

    Задача №5.
    Известно, что для всех пар положительных чисел `(x; y)`, для которых выполняются равенство `x+y=5` и неравенство `x^2+y^2>13`, выполняется и неравенство `x^5+y^5>m`. Какое наибольшее значение может принимать `m`?

    Решение:
    Достаточно найти минимум функции `f(x,y)=x^5+y^5` при выполнении условий `x>0, y>0, x+y=5, x^2+y^2>=13`.
    `x, y in (0;5), y=5-x`:
    `x^2+(5-x)^2>=13`,
    `2x^2-10x+12>=0`,
    `x^2-5x+6>=0`,
    `x in (0;2]uu[3;5)`.
    `f(x)=x^5+(5-x)^5`.
    `f'(x)=5x^4-5(5-x)^4`,
    `f'(x)=5(x^2-(5-x)^2)(x^2+(5-x)^2)=25(2x-5)(x^2+(5-x)^2)`.
    `x^2+(5-x)^2>0` при всех `x`, поэтому `x_min=5/2`.
    Заметим, что `2<5/2<3`.
    Также `f(2)=f(3)=m`.
    `m=2^5+3^5=275`.

    Ответ: `275`.

    Задача №5.
    Известно, что для всех пар положительных чисел `(x; y)`, для которых выполняются равенство `x+y=8` и неравенство `x^2+y^2>35`, выполняется и неравенство `x^5+y^5>m`. Какое наибольшее значение может принимать `m`?

    Решение:
    Достаточно найти минимум функции `f(x,y)=x^5+y^5` при выполнении условий `x>0, y>0, x+y=8, x^2+y^2>=35`.
    `x, y in (0;8), y=8-x`:
    `x^2+(8-x)^2>=35`,
    `2x^2-16x+29>=0`,
    `x^2-8x+29/2>=0`,
    `D=64-58=6`,
    `x_(1,2)=(8+-sqrt6)/2`,
    `x in (0;(8-sqrt6)/2]uu[(8+sqrt6)/2;8)`.
    `f(x)=x^5+(8-x)^5`.
    `f'(x)=5x^4-5(8-x)^4`,
    `f'(x)=5(x^2-(8-x)^2)(x^2+(8-x)^2)=40(2x-8)(x^2+(8-x)^2)`.
    `x^2+(8-x)^2>0` при всех `x`, поэтому `x_min=4`.
    Заметим, что `(8-sqrt6)/2<4<(8+sqrt6)/2`.
    Также `f((8+sqrt6)/2)=f((8-sqrt6)/2)=m`.
    `m=1/32(8+sqrt6)^5+1/32(8-sqrt6)^5=4058`.

    Ответ: `4058`.

    Задача №5.
    Известно, что для всех пар положительных чисел `(x; y)`, для которых выполняются равенство `x+y=7` и неравенство `x^2+y^2>27`, выполняется и неравенство `x^5+y^5>m`. Какое наибольшее значение может принимать `m`?

    Решение:
    Достаточно найти минимум функции `f(x,y)=x^5+y^5` при выполнении условий `x>0, y>0, x+y=7, x^2+y^2>=27`.
    `x, y in (0;7), y=7-x`:
    `x^2+(7-x)^2>=27`,
    `2x^2-14x+22>=0`,
    `x^2-7x+11>=0`,
    `D=49-44=5`,
    `x_(1,2)=(7+-sqrt5)/2`,
    `x in (0;(7-sqrt5)/2]uu[(7+sqrt5)/2;7)`.
    `f(x)=x^5+(7-x)^5`.
    `f'(x)=5x^4-5(7-x)^4`,
    `f'(x)=5(x^2-(7-x)^2)(x^2+(7-x)^2)=35(2x-7)(x^2+(7-x)^2)`.
    `x^2+(7-x)^2>0` при всех `x`, поэтому `x_min=7/2`.
    Заметим, что `(7-sqrt5)/2<7/2<(7+sqrt5)/2`.
    Также `f((7+sqrt5)/2)=f((7-sqrt5)/2)=m`.
    `m=1/32(7+sqrt5)^5+1/32(7-sqrt5)^5=2177`.

    Ответ: `2177`.
  • Задача №6.
    В правильный тетраэдр `KLMN` с ребром `3sqrt2` вписана сфера `Omega`. Куб `ABCDA_1B_1C_1D_1` расположен так, что его диагональ `A_1C_1` лежит на прямой `KL`, а прямая `BD` касается сферы `Omega` в точке, лежащей на отрезке `BD`. Какую наименьшую площадь поверхности может иметь куб `ABCDA_1B_1C_1D_1`? Ответ округлите до десятых.

    Решение:
    image
    image
    Рисунок 1 - сечение тетраэдра через центр шара перпендикулярно `KL`.
    `a` - длина ребра тетраэдра.
    `MT = a*sqrt(3)/2`.
    `HT=1/3*MT=a*sqrt(3)/6`.
    Рисунок 2 - сечение тетраэдра через `BD` перпендикулярно `KL`. Буквами со штрихами обозначаются проекции соответствующих точек.
    `b` - ребро куба.
    `B'B_1'=D'D_1'=b`,
    `B_1'D_1' = b*sqrt(2)`.
    `B_1'T' = b*sqrt(2)/2`.
    `B_1'T' >= H'T' = HT` - т.к. точка касания со сферой принадлежит отрезку `BD`.
    `b*sqrt(2)/2 >= a*sqrt(3)/6`.
    `b >= a/sqrt(6)`.
    `b_min=a/sqrt(6)=3*sqrt(2)/sqrt(6)=sqrt(3)`.
    `S=6*(b_min)^2 = 6 * 3 = 18`.
    Дополнительно: `OH = a/(2*sqrt(6)) = (b_min)/2 =>` куб будет касаться сферы в ее верхней точке.

    Ответ: `18`.

    Задача №6.
    В правильный тетраэдр `KLMN` с ребром `6sqrt3` вписана сфера `Omega`. Куб `ABCDA_1B_1C_1D_1` расположен так, что его диагональ `A_1C_1` лежит на прямой `KL`, а прямая `BD` касается сферы `Omega` в точке, лежащей на отрезке `BD`. Какую наименьшую площадь поверхности может иметь куб `ABCDA_1B_1C_1D_1`? Ответ округлите до десятых.

    Решение:
    image
    image
    Рисунок 1 - сечение тетраэдра через центр шара перпендикулярно `KL`.
    `a` - длина ребра тетраэдра.
    `MT = a*sqrt(3)/2`.
    `HT=1/3*MT=a*sqrt(3)/6`.
    Рисунок 2 - сечение тетраэдра через `BD` перпендикулярно `KL`. Буквами со штрихами обозначаются проекции соответствующих точек.
    `b` - ребро куба.
    `B'B_1'=D'D_1'=b`,
    `B_1'D_1' = b*sqrt(2)`.
    `B_1'T' = b*sqrt(2)/2`.
    `B_1'T' >= H'T' = HT` - т.к. точка касания со сферой принадлежит отрезку `BD`.
    `b*sqrt(2)/2 >= a*sqrt(3)/6`.
    `b >= a/sqrt(6)`.
    `b_min=a/sqrt(6)=6*sqrt(3)/sqrt(6)=3*sqrt(2)`.
    `S=6*(b_min)^2 = 6 * 18 = 108`.
    Дополнительно: `OH = a/(2*sqrt(6)) = (b_min)/2 =>` куб будет касаться сферы в ее верхней точке.

    Ответ: `108`.

    Задача №6.
    В правильный тетраэдр `KLMN` с ребром `3sqrt7` вписана сфера `Omega`. Куб `ABCDA_1B_1C_1D_1` расположен так, что его диагональ `A_1C_1` лежит на прямой `KL`, а прямая `BD` касается сферы `Omega` в точке, лежащей на отрезке `BD`. Какую наименьшую площадь поверхности может иметь куб `ABCDA_1B_1C_1D_1`? Ответ округлите до десятых.

    Решение:
    image
    image
    Рисунок 1 - сечение тетраэдра через центр шара перпендикулярно `KL`.
    `a` - длина ребра тетраэдра.
    `MT = a*sqrt(3)/2`.
    `HT=1/3*MT=a*sqrt(3)/6`.
    Рисунок 2 - сечение тетраэдра через `BD` перпендикулярно `KL`. Буквами со штрихами обозначаются проекции соответствующих точек.
    `b` - ребро куба.
    `B'B_1'=D'D_1'=b`,
    `B_1'D_1' = b*sqrt(2)`.
    `B_1'T' = b*sqrt(2)/2`.
    `B_1'T' >= H'T' = HT` - т.к. точка касания со сферой принадлежит отрезку `BD`.
    `b*sqrt(2)/2 >= a*sqrt(3)/6`.
    `b >= a/sqrt(6)`.
    `b_min=a/sqrt(6)=3*sqrt(7)/sqrt(6)=3sqrt(7/6)`.
    `S=6*(b_min)^2 = 6 * 9 * 7/6 = 63`.
    Дополнительно: `OH = a/(2*sqrt(6)) = (b_min)/2 =>` куб будет касаться сферы в ее верхней точке.

    Ответ: `63`.

    Задача №6.
    В правильный тетраэдр `KLMN` с ребром `9sqrt5` вписана сфера `Omega`. Куб `ABCDA_1B_1C_1D_1` расположен так, что его диагональ `A_1C_1` лежит на прямой `KL`, а прямая `BD` касается сферы `Omega` в точке, лежащей на отрезке `BD`. Какую наименьшую площадь поверхности может иметь куб `ABCDA_1B_1C_1D_1`? Ответ округлите до десятых.

    Решение:
    image
    image
    Рисунок 1 - сечение тетраэдра через центр шара перпендикулярно `KL`.
    `a` - длина ребра тетраэдра.
    `MT = a*sqrt(3)/2`.
    `HT=1/3*MT=a*sqrt(3)/6`.
    Рисунок 2 - сечение тетраэдра через `BD` перпендикулярно `KL`. Буквами со штрихами обозначаются проекции соответствующих точек.
    `b` - ребро куба.
    `B'B_1'=D'D_1'=b`,
    `B_1'D_1' = b*sqrt(2)`.
    `B_1'T' = b*sqrt(2)/2`.
    `B_1'T' >= H'T' = HT` - т.к. точка касания со сферой принадлежит отрезку `BD`.
    `b*sqrt(2)/2 >= a*sqrt(3)/6`.
    `b >= a/sqrt(6)`.
    `b_min=a/sqrt(6)=9*sqrt(5)/sqrt(6)=9*sqrt(5/6)`.
    `S=6*(b_min)^2 = 6 * 81 * 5/6 = 405`.
    Дополнительно: `OH = a/(2*sqrt(6)) = (b_min)/2 =>` куб будет касаться сферы в ее верхней точке.

    Ответ: `405`.
  • Задача №7.
    Известно, что число `a` удовлетворяет уравнению `x^3+3x^2+6x-9=0`, а число `b` – уравнению `x^3+6x^2+15x+27=0`. Найдите наименьшее возможное значение суммы  `a+b`.

    Решение:
    `x^3+3x^2+6x-9=0`,
    `(x+1)^3+3x-10=0`,
    `(x+1)^3+3(x+1)-13=0`.
    Функция `f(t)=t^3+3t-13` всегда возрастает, поскольку `f'(t)=3t^2+3>0` при всех `t`.
    Следовательно, уравнение `f(t)=0` имеет единственное решение.
    `x^3+6x^2+15x+27=0`,
    `(x+2)^3+3x+19=0`,
    `(x+2)^3+3(x+2)+13=0`.
    Функция `g(t)=t^3+3t+13` всегда возрастает, поэтому уравнение имеет единственное решение.
    По условию, `{((a+1)^3+3(a+1)-13=0),((b+2)^3+3(b+2)+13=0):}`.
    `(a+1)^3+(b+2)^3+3(a+1)+3(b+2)=0`,
    `(a+1+b+2)((a+1)^2-(a+1)(b+2)+(b+2)^2+3)=0`.
    Второй сомножитель является суммой неполного квадрата и положительного числа, поэтому всегда положителен.
    Значит, `a+1+b+2=0 => a+b=-3`.
    Неполный квадрат вида `A^2-AB+B^2=(A-B/2)^2+3/4B^2>=0` при всех `A,B`.

    Ответ: `-3`.

    Задача №7.
    Известно, что число `a` удовлетворяет уравнению `x^3+6x^2+17x+7=0`, а число `b` – уравнению `x^3-3x^2+8x+5=0`. Найдите наименьшее возможное значение суммы  `a+b`.

    Решение:
    `x^3-3x^2+8x+5=0`,
    `(x-1)^3+5x+6=0`,
    `(x-1)^3+5(x-1)+11=0`.
    Функция `f(t)=t^3+5t+11` всегда возрастает, поскольку `f'(t)=3t^2+5>0` при всех `t`.
    Следовательно, уравнение `f(t)=0` имеет единственное решение.
    `x^3+6x^2+17x+7=0`,
    `(x+2)^3+5x-1=0`,
    `(x+2)^3+5(x+2)-11=0`.
    Функция `g(t)=t^3+5t-11` всегда возрастает, поэтому уравнение имеет единственное решение.
    По условию, `{((b-1)^3+5(b-1)+11=0),((a+2)^3+5(a+2)-11=0):}`.
    `(b-1)^3+(a+2)^3+5(b-1)+5(a+2)=0`,
    `(b-1+a+2)((b-1)^2-(b-1)(a+2)+(a+2)^2+5)=0`.
    Второй сомножитель является суммой неполного квадрата и положительного числа, поэтому всегда положителен.
    Значит, `b-1+a+2=0 => a+b=-1`.
    Неполный квадрат вида `A^2-AB+B^2=(A-B/2)^2+3/4B^2>=0` при всех `A,B`.

    Ответ: `-1`.

    Задача №7.
    Известно, что число `a` удовлетворяет уравнению `x^3-6x^2+16x-28=0`, а число `b` – уравнению `x^3+3x^2+7x+17=0`. Найдите наименьшее возможное значение суммы  `a+b`.

    Решение:
    `x^3+3x^2+7x+17=0`,
    `(x+1)^3+4x+16=0`,
    `(x+1)^3+4(x+1)+12=0`.
    Функция `f(t)=t^3+4t+12` всегда возрастает, поскольку `f'(t)=3t^2+4>0` при всех `t`.
    Следовательно, уравнение `f(t)=0` имеет единственное решение.
    `x^3-6x^2+16x-28=0`,
    `(x-2)^3+4x-20=0`,
    `(x-2)^3+4(x-2)-12=0`.
    Функция `g(t)=t^3+4t-12` всегда возрастает, поэтому уравнение имеет единственное решение.
    По условию, `{((b+1)^3+4(b+1)+12=0),((a-2)^3+4(a-2)-12=0):}`.
    `(b+1)^3+(a-2)^3+4(b+1)+4(a-2)=0`,
    `(b+1+a-2)((b+1)^2-(b+1)(a-2)+(a-2)^2+4)=0`.
    Второй сомножитель является суммой неполного квадрата и положительного числа, поэтому всегда положителен.
    Значит, `b+1+a-2=0 => a+b=1`.
    Неполный квадрат вида `A^2-AB+B^2=(A-B/2)^2+3/4B^2>=0` при всех `A,B`.

    Ответ: `1`.

    Задача №7.
    Известно, что число `a` удовлетворяет уравнению `x^3-3x^2+5x-17=0`, а число `b` – уравнению `x^3-6x^2+14x+2=0`. Найдите наименьшее возможное значение суммы  `a+b`.

    Решение:
    `x^3-3x^2+5x-17=0`,
    `(x-1)^3+2x-16=0`,
    `(x-1)^3+2(x-1)-14=0`.
    Функция `f(t)=t^3+2t-14` всегда возрастает, поскольку `f'(t)=3t^2+2>0` при всех `t`.
    Следовательно, уравнение `f(t)=0` имеет единственное решение.
    `x^3-6x^2+14x+2=0`,
    `(x-2)^3+2x+10=0`,
    `(x-2)^3+2(x-2)+14=0`.
    Функция `g(t)=t^3+2t+14` всегда возрастает, поэтому уравнение имеет единственное решение.
    По условию, `{((a-1)^3+2(a-1)-14=0),((b-2)^3+2(b-2)+14=0):}`.
    `(a-1)^3+(b-2)^3+2(a-1)+2(b-2)=0`,
    `(a-1+b-2)((a-1)^2-(a-1)(b-2)+(b-2)^2+2)=0`.
    Второй сомножитель является суммой неполного квадрата и положительного числа, поэтому всегда положителен.
    Значит, `a-1+b-2=0 => a+b=3`.
    Неполный квадрат вида `A^2-AB+B^2=(A-B/2)^2+3/4B^2>=0` при всех `A,B`.

    Ответ: `3`.
  • Задача №8.
    Найдите наибольшее значение выражения `sin(x+y+z)`, если числа `x, y, z` являются
    решениями системы
    `{(sqrt(24/25-sinx) = 1/5tanz-5/2cosz),(sqrt(24/25-siny) = 1/5tanx-5/2cosx),(sqrt(24/25-sinz) = 1/5tany-5/2cosy):}`    
    Ответ округлите до тысячных.

    Решение:
    Замена `sinx=a, siny=b, sinz=c`.
    Возведем в квадрат все три уравнения:
    `{(24/25-a=1/25(c^2)/(1-c^2)-c+25/4(1-c^2)),(24/25-b=1/25(a^2)/(1-a^2)-a+25/4(1-a^2)),(24/25-c=1/25(b^2)/(1-b^2)-b+25/4(1-b^2)):}`
    Пусть `f(t)=1/25(t^2)/(1-t^2)+25/4(1-t^2)`.
    `f(t)=-1/25+1/(25(1-t^2))+25/4(1-t^2)>=-1/25+2sqrt(1/4)>=24/25` при всех `t in (-1;1)`.
    Тогда, `c-a>=0, a-b>=0, b-c>=0 => a=b=c`.
    `1/(25(1-t^2))=25/4(1-t^2) => 1-t^2=2/25 => a^2=b^2=c^2=23/25`.
    Пусть `sinx=siny=sinz=sqrt23/5 => cosx=cosy=cosz=-sqrt2/5`.
    Пусть `sinx=siny=sinz=-sqrt23/5 => cosx=cosy=cosz=-sqrt2/5`.
    `sin(x+y+z)=-sinxsinysinz+sinxcosycosz+cosxsinycosz+cosxcosysinz`.
    В первом случае получаем выражение `-(sqrt23/5)^3+3*sqrt23/5*2/25`.
    Во втором случае выражение `(sqrt23/5)^3-3*sqrt23/5*2/25 ~~ 0,652`.

    Ответ: `0,652`.

    Задача №8.
    Найдите наибольшее значение выражения `sin(x+y+z)`, если числа `x, y, z` являются
    решениями системы
    `{(sqrt(15/16-sinx) = 1/4tany-2cosy),(sqrt(15/16-siny) = 1/4tanz-2cosz),(sqrt(15/16-sinz) = 1/4tanx-2cosx):}`    
    Ответ округлите до тысячных.

    Решение:
    Замена `sinx=a, siny=b, sinz=c`.
    Возведем в квадрат все три уравнения:
    `{(15/16-a=1/16(b^2)/(1-b^2)-b+4(1-b^2)),(15/16-b=1/16(c^2)/(1-c^2)-c+4(1-c^2)),(15/16-c=1/16(a^2)/(1-a^2)-a+4(1-a^2)):}`
    Пусть `f(t)=1/16(t^2)/(1-t^2)+4(1-t^2)`.
    `f(t)=-1/16+1/(16(1-t^2))+4(1-t^2)>=-1/16+2sqrt(1/4)>=15/16` при всех `t in (-1;1)`.
    Тогда, `b-a>=0, c-b>=0, a-c>=0 => a=b=c`.
    `1/(16(1-t^2))=4(1-t^2) => 1-t^2=1/8 => a^2=b^2=c^2=7/8`.
    Пусть `sinx=siny=sinz=sqrt(7/8) => cosx=cosy=cosz=-sqrt(1/8)`.
    Пусть `sinx=siny=sinz=-sqrt(7/8) => cosx=cosy=cosz=-sqrt(1/8)`.
    `sin(x+y+z)=-sinxsinysinz+sinxcosycosz+cosxsinycosz+cosxcosysinz`.
    В первом случае получаем выражение `-(sqrt(7/8))^3+3*sqrt(7/8)*1/8`.
    Во втором случае выражение `(sqrt(7/8))^3-3*sqrt(7/8)*1/8 ~~ 0,468`.

    Ответ: `0,468`.

    Задача №8.
    Найдите наибольшее значение выражения `sin(x+y+z)`, если числа `x, y, z` являются
    решениями системы
    `{(sqrt(8/9+sinx) = 3/2cosy+1/3tany),(sqrt(8/9+siny) = 3/2cosz+1/3tanz),(sqrt(8/9+sinz) = 3/2cosx+1/3tanx):}`    
    Ответ округлите до тысячных.

    Решение:
    Замена `sinx=a, siny=b, sinz=c`.
    Возведем в квадрат все три уравнения:
    `{(8/9+a=1/9(b^2)/(1-b^2)+b+9/4(1-b^2)),(8/9+b=1/9(c^2)/(1-c^2)+c+9/4(1-c^2)),(8/9+c=1/9(a^2)/(1-a^2)+a+9/4(1-a^2)):}`
    Пусть `f(t)=1/9(t^2)/(1-t^2)+9/4(1-t^2)`.
    `f(t)=-1/9+1/(9(1-t^2))+9/4(1-t^2)>=-1/9+2sqrt(1/4)>=8/9` при всех `t in (-1;1)`.
    Тогда, `a-b>=0, b-c>=0, c-a>=0 => a=b=c`.
    `1/(9(1-t^2))=9/4(1-t^2) => 1-t^2=2/9 => a^2=b^2=c^2=7/9`.
    Пусть `sinx=siny=sinz=sqrt7/3 => cosx=cosy=cosz=sqrt2/3`.
    Пусть `sinx=siny=sinz=-sqrt7/3 => cosx=cosy=cosz=sqrt2/3`.
    `sin(x+y+z)=-sinxsinysinz+sinxcosycosz+cosxsinycosz+cosxcosysinz`.
    В первом случае получаем выражение `-(sqrt7/3)^3+3*sqrt7/3*2/9`.
    Во втором случае выражение `(sqrt7/3)^3-3*sqrt7/3*2/9 ~~ 0,098`.

    Ответ: `0,098`.

    Задача №8.
    Найдите наибольшее значение выражения `cos(x+y+z)`, если числа `x, y, z` являются
    решениями системы
    `{(sqrt(21/25+cosx) = 5/4siny+2/5coty),(sqrt(21/25+cosy) = 5/4sinz+2/5cotz),(sqrt(21/25+cosz) = 5/4sinx+2/5cotx):}`    
    Ответ округлите до тысячных.

    Решение:
    Замена `cosx=a, cosy=b, cosz=c`.
    Возведем в квадрат все три уравнения:
    `{(21/25+a=4/25(b^2)/(1-b^2)+b+25/16(1-b^2)),(21/25+b=4/25(c^2)/(1-c^2)+c+25/16(1-c^2)),(21/25+c=4/25(a^2)/(1-a^2)+a+25/16(1-a^2)):}`
    Пусть `f(t)=4/25(t^2)/(1-t^2)+25/16(1-t^2)`.
    `f(t)=-4/25+4/(25(1-t^2))+25/16(1-t^2)>=-4/25+2sqrt(1/4)>=21/25` при всех `t in (-1;1)`.
    Тогда, `a-b>=0, b-c>=0, c-a>=0 => a=b=c`.
    `4/(25(1-t^2))=25/16(1-t^2) => 1-t^2=8/25 => a^2=b^2=c^2=17/25`.
    Пусть `cosx=cosy=cosz=sqrt17/5 => sinx=siny=sinz=sqrt8/5`.
    Пусть `cosx=cosy=cosz=-sqrt17/5 => sinx=siny=sinz=sqrt8/5`.
    `cos(x+y+z)=cosxcosycosz-sinxsinycosz-sinxcosysinz-cosxsinysinz`.
    В первом случае получаем выражение `(sqrt17/5)^3-3*sqrt17/5*8/25`.
    Во втором случае выражение `-(sqrt23/5)^3+3*sqrt23/5*2/25 ~~ 0,231`.

    Ответ: `0,231`.

    Задача №8.
    Найдите наибольшее значение выражения `cos(x+y+z)`, если числа `x, y, z` являются
    решениями системы
    `{(sqrt(5/9+cosx) = 3/4sinz+2/3cotz),(sqrt(5/9+cosy) = 3/4sinx+2/3cotx),(sqrt(5/9+cosz) = 3/4siny+2/3coty):}`    
    Ответ округлите до тысячных.

    Решение:
    Замена `cosx=a, cosy=b, cosz=c`.
    Возведем в квадрат все три уравнения:
    `{(5/9+a=4/9(c^2)/(1-c^2)+c+9/16(1-c^2)),(5/9+b=4/9(a^2)/(1-a^2)+a+9/16(1-a^2)),(5/9+c=4/9(b^2)/(1-b^2)+b+9/16(1-b^2)):}`
    Пусть `f(t)=4/9(t^2)/(1-t^2)+9/16(1-t^2)`.
    `f(t)=-4/9+4/(9(1-t^2))+9/16(1-t^2)>=-4/9+2sqrt(1/4)>=5/9` при всех `t in (-1;1)`.
    Тогда, `a-c>=0, b-a>=0, c-b>=0 => a=b=c`.
    `4/(9(1-t^2))=9/16(1-t^2) => 1-t^2=8/9 => a^2=b^2=c^2=1/9`.
    Пусть `cosx=cosy=cosz=1/3 => sinx=siny=sinz=sqrt8/3`.
    Пусть `cosx=cosy=cosz=-1/3 => sinx=siny=sinz=sqrt8/3`.
    `cos(x+y+z)=cosxcosycosz-sinxsinycosz-sinxcosysinz-cosxsinysinz`.
    В первом случае получаем выражение `(1/3)^3-3*1/3*8/9`.
    Во втором случае выражение `-(1/3)^3+3*1/3*8/9 ~~ 0,852`.

    Ответ: `0,852`.
  • Задача №9.
    На столе лежит `210` внешне одинаковых монет. Известно, что среди них ровно `105` фальшивых. Разрешается указать на любые две монеты и спросить, верно ли, что обе эти монеты фальшивые. За какое наименьшее количество вопросов можно гарантированно получить по крайней мере один ответ «Верно»?

    Решение:
    Разделим все монеты на `105` пар. Пары могут быть вида `N N` (две настоящие монеты), `NF` (фальшивая и настоящая) и `F F` (две фальшивые).
    Если среди этих пар встретится пара `FF`, то положительный ответ поступит не более, чем за `105` вопросов.
    Если среди этих пар есть пара `N N`, то среди остальных пар встретися хотя бы одна пара `F F`, поскольку количество настоящих и фальшивых монет одинаково. Положительный ответ поступит также не более, чем за `105` вопросов.
    Пусть все пары вида `NF`. Возьмем произвольные две пары монет, в каждой из которых по одной настоящей и одной фальшивой монет.
    Монеты `N_(1,2), F_(1,2)`.
    Пары `(N_1,F_2), (N_2,F_1), (N_1,N_2)` дают отрицательные ответы. Последняя пара даст положительный ответ.
    Итого потребовалось `105+4=109` вопросов, чтобы получить гарантированный положительный ответ.

    Ответ: `109`.

    Задача №9.
    На столе лежит `220` внешне одинаковых монет. Известно, что среди них ровно `110` фальшивых. Разрешается указать на любые две монеты и спросить, верно ли, что обе эти монеты фальшивые. За какое наименьшее количество вопросов можно гарантированно получить по крайней мере один ответ «Верно»?

    Решение:
    Разделим все монеты на `110` пар. Пары могут быть вида `N N` (две настоящие монеты), `NF` (фальшивая и настоящая) и `F F` (две фальшивые).
    Если среди этих пар встретится пара `FF`, то положительный ответ поступит не более, чем за `110` вопросов.
    Если среди этих пар есть пара `N N`, то среди остальных пар встретися хотя бы одна пара `F F`, поскольку количество настоящих и фальшивых монет одинаково. Положительный ответ поступит также не более, чем за `110` вопросов.
    Пусть все пары вида `NF`. Возьмем произвольные две пары монет, в каждой из которых по одной настоящей и одной фальшивой монет.
    Монеты `N_(1,2), F_(1,2)`.
    Пары `(N_1,F_2), (N_2,F_1), (N_1,N_2)` дают отрицательные ответы. Последняя пара даст положительный ответ.
    Итого потребовалось `110+4=114` вопросов, чтобы получить гарантированный положительный ответ.

    Ответ: `114`.

    Задача №9.
    На столе лежит `120` внешне одинаковых монет. Известно, что среди них ровно `60` фальшивых. Разрешается указать на любые две монеты и спросить, верно ли, что обе эти монеты фальшивые. За какое наименьшее количество вопросов можно гарантированно получить по крайней мере один ответ «Верно»?

    Решение:
    Разделим все монеты на `60` пар. Пары могут быть вида `N N` (две настоящие монеты), `NF` (фальшивая и настоящая) и `F F` (две фальшивые).
    Если среди этих пар встретится пара `FF`, то положительный ответ поступит не более, чем за `60` вопросов.
    Если среди этих пар есть пара `N N`, то среди остальных пар встретися хотя бы одна пара `F F`, поскольку количество настоящих и фальшивых монет одинаково. Положительный ответ поступит также не более, чем за `60` вопросов.
    Пусть все пары вида `NF`. Возьмем произвольные две пары монет, в каждой из которых по одной настоящей и одной фальшивой монет.
    Монеты `N_(1,2), F_(1,2)`.
    Пары `(N_1,F_2), (N_2,F_1), (N_1,N_2)` дают отрицательные ответы. Последняя пара даст положительный ответ.
    Итого потребовалось `60+4=64` вопроса, чтобы получить гарантированный положительный ответ.

    Ответ: `64`.

    Задача №9.
    На столе лежит `160` внешне одинаковых монет. Известно, что среди них ровно `80` фальшивых. Разрешается указать на любые две монеты и спросить, верно ли, что обе эти монеты фальшивые. За какое наименьшее количество вопросов можно гарантированно получить по крайней мере один ответ «Верно»?

    Решение:
    Разделим все монеты на `80` пар. Пары могут быть вида `N N` (две настоящие монеты), `NF` (фальшивая и настоящая) и `F F` (две фальшивые).
    Если среди этих пар встретится пара `FF`, то положительный ответ поступит не более, чем за `80` вопросов.
    Если среди этих пар есть пара `N N`, то среди остальных пар встретися хотя бы одна пара `F F`, поскольку количество настоящих и фальшивых монет одинаково. Положительный ответ поступит также не более, чем за `80` вопросов.
    Пусть все пары вида `NF`. Возьмем произвольные две пары монет, в каждой из которых по одной настоящей и одной фальшивой монет.
    Монеты `N_(1,2), F_(1,2)`.
    Пары `(N_1,F_2), (N_2,F_1), (N_1,N_2)` дают отрицательные ответы. Последняя пара даст положительный ответ.
    Итого потребовалось `80+4=84` вопроса, чтобы получить гарантированный положительный ответ.

    Ответ: `84`.
  • Задача №10.
    Во время опроса `88` человек каждому из них предлагалось указать один любимый фильм. Оказалось, что из любых `10` опрошенных по крайней мере `3` указали один и тот же фильм. При каком наибольшем `M` можно утверждать, что среди опрошенных обязательно найдутся `M` человек, указавших один и тот же фильм?

    Решение:
    `n` - общее количество фильмов.
    Пусть `n<=4`. По принципу Дирихле найдется не менее `88/4=22` человек, которые указали один и тот же фильм.
    При таких значениях n условие задачи выполнено, поскольку если в какой то десятке не найдется троих человек, указавших один и тот же фильм, то всего человек не более `2n<=8<10` - противоречие.
    Пусть `n>=5`. Если `n>=9`, можем выбрать такую десятку, в которой не найдется троих, которые указали один фильм. Значит, `n in [5;8]`.
    Заметим, что каждый человек мог указать только `1` фильм. Если не менее `5` фильмов указали хотя бы два человека, тогда найдется десятка, для которой не выполнено условие задачи.
    Следовательно, существует `n-4` фильмов, который указал только `1` человек. Тогда остальные `4` фильма указали `88-(n-4)=92-n` человек.
    Найдется фильм, который указали не менее `(92-n)/4` человек.
    Заметим, что при `n=5,6,7` получим `M=22`.
    Пусть `n=8 => 4` человека указали по одному фильму и остальные `4` фильма указали по `21` человеку. Тогда наберется десятка (первые четверо и `6` человек из второй группы), для которой не выполнено условие задачи.
    Итак, при `M=22` всегда найдется `M` человек, указавших один и тот же фильм, а при `M>22` можно построить контрпример.

    Ответ: `22`.

    Задача №10.
    Во время опроса `72` человек каждому из них предлагалось указать один любимый фильм. Оказалось, что из любых `10` опрошенных по крайней мере `3` указали один и тот же фильм. При каком наибольшем `M` можно утверждать, что среди опрошенных обязательно найдутся `M` человек, указавших один и тот же фильм?

    Решение:
    `n` - общее количество фильмов.
    Пусть `n<=4`. По принципу Дирихле найдется не менее `72/4=18` человек, которые указали один и тот же фильм.
    При таких значениях n условие задачи выполнено, поскольку если в какой то десятке не найдется троих человек, указавших один и тот же фильм, то всего человек не более `2n<=8<10` - противоречие.
    Пусть `n>=5`. Если `n>=9`, можем выбрать такую десятку, в которой не найдется троих, которые указали один фильм. Значит, `n in [5;8]`.
    Заметим, что каждый человек мог указать только `1` фильм. Если не менее `5` фильмов указали хотя бы два человека, тогда найдется десятка, для которой не выполнено условие задачи.
    Следовательно, существует `n-4` фильмов, который указал только `1` человек. Тогда остальные `4` фильма указали `72-(n-4)=76-n` человек.
    Найдется фильм, который указали не менее `(76-n)/4` человек.
    Заметим, что при `n=5,6,7` получим `M=18`.
    Пусть `n=8 => 4` человека указали по одному фильму и остальные `4` фильма указали по `17` человек. Тогда наберется десятка (первые четверо и `6` человек из второй группы), для которой не выполнено условие задачи.
    Итак, при `M=18` всегда найдется `M` человек, указавших один и тот же фильм, а при `M>18` можно построить контрпример.

    Ответ: `18`.

    Задача №10.
    Во время опроса `64` человек каждому из них предлагалось указать один любимый фильм. Оказалось, что из любых `10` опрошенных по крайней мере `3` указали один и тот же фильм. При каком наибольшем `M` можно утверждать, что среди опрошенных обязательно найдутся `M` человек, указавших один и тот же фильм?

    Решение:
    `n` - общее количество фильмов.
    Пусть `n<=4`. По принципу Дирихле найдется не менее `64/4=16` человек, которые указали один и тот же фильм.
    При таких значениях n условие задачи выполнено, поскольку если в какой то десятке не найдется троих человек, указавших один и тот же фильм, то всего человек не более `2n<=8<10` - противоречие.
    Пусть `n>=5`. Если `n>=9`, можем выбрать такую десятку, в которой не найдется троих, которые указали один фильм. Значит, `n in [5;8]`.
    Заметим, что каждый человек мог указать только `1` фильм. Если не менее `5` фильмов указали хотя бы два человека, тогда найдется десятка, для которой не выполнено условие задачи.
    Следовательно, существует `n-4` фильмов, который указал только `1` человек. Тогда остальные `4` фильма указали `64-(n-4)=64-n` человек.
    Найдется фильм, который указали не менее `(68-n)/4` человек.
    Заметим, что при `n=5,6,7` получим `M=16`.
    Пусть `n=8 => 4` человека указали по одному фильму и остальные `4` фильма указали по `15` человек. Тогда наберется десятка (первые четверо и `6` человек из второй группы), для которой не выполнено условие задачи.
    Итак, при `M=16` всегда найдется `M` человек, указавших один и тот же фильм, а при `M>16` можно построить контрпример.

    Ответ: `16`.

    Задача №10.
    Во время опроса `76` человек каждому из них предлагалось указать один любимый фильм. Оказалось, что из любых `10` опрошенных по крайней мере `3` указали один и тот же фильм. При каком наибольшем `M` можно утверждать, что среди опрошенных обязательно найдутся `M` человек, указавших один и тот же фильм?

    Решение:
    `n` - общее количество фильмов.
    Пусть `n<=4`. По принципу Дирихле найдется не менее `76/4=19` человек, которые указали один и тот же фильм.
    При таких значениях n условие задачи выполнено, поскольку если в какой то десятке не найдется троих человек, указавших один и тот же фильм, то всего человек не более `2n<=8<10` - противоречие.
    Пусть `n>=5`. Если `n>=9`, можем выбрать такую десятку, в которой не найдется троих, которые указали один фильм. Значит, `n in [5;8]`.
    Заметим, что каждый человек мог указать только `1` фильм. Если не менее `5` фильмов указали хотя бы два человека, тогда найдется десятка, для которой не выполнено условие задачи.
    Следовательно, существует `n-4` фильмов, который указал только `1` человек. Тогда остальные `4` фильма указали `76-(n-4)=80-n` человек.
    Найдется фильм, который указали не менее `(80-n)/4` человек.
    Заметим, что при `n=5,6,7` получим `M=19`.
    Пусть `n=8 => 4` человека указали по одному фильму и остальные `4` фильма указали по `18` человек. Тогда наберется десятка (первые четверо и `6` человек из второй группы), для которой не выполнено условие задачи.
    Итак, при `M=19` всегда найдется `M` человек, указавших один и тот же фильм, а при `M>19` можно построить контрпример.

    Ответ: `19`.

Рассылка решений заочных туров олимпиад по математике