Рассылка решений заочных туров олимпиад по математике

Подписывайтесь на нашу рассылку решений заочных туров всех олимпиад по математике: Ломоносов, Покори Воробьевы горы, Высшая проба, Физтех 2018 и другие перечневые олимпиады.

Очный тур олимпиады Высшая проба 2017-2018 по математике / Задания и решения
  • Идет запись на очный тур ОММО. admin@olympiads.biz.
    Очный тур олимпиады Высшая проба 2017-2018 по математике. Задания и решения.
    Подробные решения будут опубликованы позже.
    image
  • Задача №1.
    От домика Тофслы и Вифслы отходит `6` прямых дорог, разделяющих окрестное круглое поле на `6` равных секторов. Тофсла и Вифсла отправляются в путешествие из своего домика в центре поля со скоростью `5` км/ч случайно независимо друг от друга выбрав себе дорогу, по которой идти. С какой вероятностью расстояние между ними через час составит более `7` км?

    Ответ: `1/2`.
  • Задача №2.
    Фонари располагаются на плоскости, освещая все точки угла южнее и западнее себя. (То есть фонарь в точке с координатами `(a,b)` освещает точки `(x,y)` с координатами `x<=a` и `y<=b`.) На плоскость уже выставили `2018` синих фонарей, поместив их в различные точки. Можно ли дорасставить на плоскости `2017` красных фонарей, так что любая точка плоскости, освещенная ровно `k>0` синими фонарями, будет освещена ровно `k-1` красным фонарем? (Красные фонари можно располагать в точки, занятые другими фонарями, предполагая, что это не мешает освещению).

    Ответ: да.
  • Задача №3.
    Треугольник `ABC`, в котором `AB>AC`, вписан в окружность с центром в точке `O`. В нем проведены высоты `A A'` и `B B'`, и `B B'` повторно пересекает описанную окружность в точке `N`. Пусть `M` - середина отрезка `AB`. Докажите, что если `/_OBN=/_NBC`, то прямые `A A', ON` и `MB'` пересекаются в одной точке.

    Решение:
    `ON=OB, /_OBN=/_ONB`.
    `A A'` и `ON` пересекаются в точке `X`.
    `A A'` пересекает повторно окружность в точке `Z`.
    `AX=XZ`, точка `X` - середина `AZ`.
    `AZ_|_ON => AN=NZ, /_ABN=/_NBZ`.
    `MB'` и `A A'` пересекаются в точке `Y`.
    `Y` - середина `AZ`.
    Значит, точки `X` и `Y` совпадают.

    Ответ: доказано.
  • Задача №4.
    В таинственном лесу два мудреца в черном и белом колпаках раздают гномикам грибочки. К ним в две очереди выстроились `2n` гномиков, `n` в черных и `n` в белых колпаках. Если к мудрецу подходит гномик с таким же цветов колпака, то гномик получает грибочек и удаляется, а иначе отправляется в конец очереди к другому мудрецу. За какое наименьшее количество направлений в другую очередь мудрецы могут раздать всем гномикам по грибочку, если в процессе раздачи мудрецы могут один раз поменяться колпаками? (Мудрецы сами решают, в какой момент и к кому из них подойдет следующий гномик из соответствующей очереди. Очереди могут быть разной длины. Все грибочки совершенно одинаковы.)

    Ответ: `n`.
  • Задача №5.
    Из натурального числа `n` разрешается получить либо число `n^2+2n`, либо число `n^3+3n^2+3n`. Два натуральных числа называются совместимыми, если из них можно получить одно и то же число с помощью некоторого количества таких операций. Найдите все числа, совместимые с числом `2018`.

    Решение:
    `n -> (n+1)^2-1, (n+1)^3-1`.
    `n-1 -> n^2-1, n^3-1`.
    `n-1 -> n^(2^p*3^q)-1`.
    Множество `{n^(2^p*3^q)-1}` при целых неотрицательных `p,q` назовем деревом числа `n-1`, которое в свою очередь назовем корнем.
    Числа из двух разных деревьев могут совпасть только при совпадении корней.
    `2018` является корневым числом.

    Ответ: `2019^(2^p*3^q)-1, p,q in ZZ, p,q>=0`.
  • Задача №6.
    В пространстве даны `5` точек, таких что в проекциях на координатные плоскости никакие три точки не лежат на одной прямой. Могли ли оказаться так, что каждая точка ровно в одной из этих проекций лежит внутри выпуклой оболочки остальных? (Мы говорим, что точка лежит внутри выпуклой оболочки других точек, если она лежит внутри треугольника с вершинами в некоторых трех из этих точек.)

    Решение:
    Положим, что можно.
    Выпишем все максимальные и минимальные координаты точек по трем осям. `6` значений.
    Точек `5`, поэтому найдется такая точка, у которой будут минимум `2` из этих `6` значений.
    Эта точка не может быть внутри выпуклой оболочки остальных точек.

    Ответ:
    нельзя.

Рассылка решений заочных туров олимпиад по математике