Рассылка решений заочных туров олимпиад по математике

Подписывайтесь на нашу рассылку решений заочных туров всех олимпиад по математике: Ломоносов, Покори Воробьевы горы, Высшая проба, Физтех 2018 и другие перечневые олимпиады.

Отборочный этап олимпиады Курчатов 2017-2017 / Задания и решения по математике
  • Отборочный этап олимпиады Курчатов 2017-2017. Задания и решения по математике.

    Стоимость очного тура - 40 тыс. руб. Подключаем оба предмета. admin@olympiads.biz - почта для бронирования.
  • Задача №1.
    При каком значении `k` числа `44+k, 300+k` и `588+k` в указанном порядке служат квадратами трех последовательных членов некоторой возрастающей арифметической прогрессии?

    Решение:
    `b-n, b, b+n` - последовательные члены возрастающей арифметической прогрессии.
    `n>0`.
    `44+k=(b-n)^2`,
    `300+k=b^2`,
    `588+k=(b+n)^2`.
    Вычтем из третьего равенства первое:
    `4bn=544 => bn=136`.
    `b^2+n^2=44+k+2bn=316+k`.
    `b^2=300+k => n^2=16 => n=4`, поскольку `n>0`.
    `b=136/n=34 => 300+k=1156 => k=856`.

    Решение в общем случае: даны числа `4x+k, 4y+k, 4z+k`.
    `4bn=4z-4x => bn=z-x`.
    `b^2+n^2=4x+k+2bn=2x+2z+k`.
    `b^2=4y+k => n^2=2(x+z-2y) => n=sqrt(2(x+z-2y))`.
    `b=(z-x)/n=(z-x)/(sqrt(2(x+z-2y))`,
    `k=b^2-4y=(z-x)^2/(2(x+z-2y))-4y`.

    Ответ: `856`.

    `36+k, 300+k, 596+k`. Ответ: `(149-9)^2/(2(149+9-150))-300=925`.
  • Задача №2.
    У Толи есть `30` одинаковых кирпичей размера `7` × `11` × `23`. Толя хочет построить из всех кирпичей одну башню, каждый раз добавляя сверху по одному кирпичу (каждый новый кирпич добавляет `7, 11` или `23` к высоте текущей башни). Назовем число `n` построимым, если Толя может построить башню высоты ровно `n`. Сколько существует построимых чисел?

    Решение:
    `n=7a+11b+23c`, где `a+b+c=30, a,b,c` - неотрицательные целые числа.
    `c=30-a-b => n=7a+11b+23(30-a-b)`,
    `n=690-16a-12b`, где `a+b=30-c=k`, где `k` принимает все целые значения от `0` до `30`.
    `n=690-4(4a+3b)`, где `a+b=k, 0<=k<=30`.
    Пусть `f(a,b)=4a+3b`. Найдем область значений `f(a,b)` при `0<=a,b<=30, a+b<=30`.
    `f(a,k)=a+3k`, где `0<=a<=k<=30`.
    Для каждого значения `k` функция `f(a,k)` принимает все значения из отрезка `[3k;4k]`.
    `3(k+1)<=4k => k>=3`. Значит при `k>=3` отрезки начнут пересекаться.
    Поэтому `f(a,k)` принимает все значения из отрезка `[3*3;4*30]=[9;120]`. Всего `112` значений.
    `k=0 => [0;0]` - `1` значение,
    `k=1 => [3;4]` - `2` значения,
    `k=2 => [6;8]` - `3` значения.
    Итого `112+1+2+3=118` значений.

    Ответ: `118`.

    Задача №2.
    У Толи есть `35` одинаковых кирпичей размера `5` × `8` × `17`. Толя хочет построить из всех кирпичей одну башню, каждый раз добавляя сверху по одному кирпичу (каждый новый кирпич добавляет `7, 11` или `23` к высоте текущей башни). Назовем число `n` построимым, если Толя может построить башню высоты ровно `n`. Сколько существует построимых чисел?

    Решение:
    `n=5a+8b+17c`, где `a+b+c=35, a,b,c` - неотрицательные целые числа.
    `c=35-a-b => n=5a+8b+17(35-a-b)`,
    `n=595-12a-9b`, где `a+b=35-c=k`, где `k` принимает все целые значения от `0` до `35`.
    `n=595-3(4a+3b)`, где `a+b=k, 0<=k<=35`.
    Пусть `f(a,b)=4a+3b`. Найдем область значений `f(a,b)` при `0<=a,b<=35, a+b<=35`.
    `f(a,k)=a+3k`, где `0<=a<=k<=35`.
    Для каждого значения `k` функция `f(a,k)` принимает все значения из отрезка `[3k;4k]`.
    `3(k+1)<=4k => k>=3`. Значит при `k>=3` отрезки начнут пересекаться.
    Поэтому `f(a,k)` принимает все значения из отрезка `[3*3;4*35]=[9;140]`. Всего `132` значений.
    `k=0 => [0;0]` - `1` значение,
    `k=1 => [3;4]` - `2` значения,
    `k=2 => [6;8]` - `3` значения.
    Итого `132+1+2+3=138` значений.

    Ответ: `138`.

    Задача №2.
    У Толи есть `40` одинаковых кирпичей размера `7` × `9` × `15`. Толя хочет построить из всех кирпичей одну башню, каждый раз добавляя сверху по одному кирпичу (каждый новый кирпич добавляет `7, 11` или `23` к высоте текущей башни). Назовем число `n` построимым, если Толя может построить башню высоты ровно `n`. Сколько существует построимых чисел?

    Решение:
    `n=7a+9b+15c`, где `a+b+c=40, a,b,c` - неотрицательные целые числа.
    `c=40-a-b => n=7a+9b+15(40-a-b)`,
    `n=600-8a-6b`, где `a+b=40-c=k`, где `k` принимает все целые значения от `0` до `40`.
    `n=600-2(4a+3b)`, где `a+b=k, 0<=k<=40`.
    Пусть `f(a,b)=4a+3b`. Найдем область значений `f(a,b)` при `0<=a,b<=40, a+b<=40`.
    `f(a,k)=a+3k`, где `0<=a<=k<=40`.
    Для каждого значения `k` функция `f(a,k)` принимает все значения из отрезка `[3k;4k]`.
    `3(k+1)<=4k => k>=3`. Значит при `k>=3` отрезки начнут пересекаться.
    Поэтому `f(a,k)` принимает все значения из отрезка `[3*3;4*40]=[9;160]`. Всего `152` значений.
    `k=0 => [0;0]` - `1` значение,
    `k=1 => [3;4]` - `2` значения,
    `k=2 => [6;8]` - `3` значения.
    Итого `152+1+2+3=158` значений.

    Ответ: `158`.
  • Задача №3.
    В трапеции `ABCD` (`AD||BC`) `/_A = 90^0, /_D = 75^0`. Из вершины `A` опущен перпендикуляр `AH` на боковую сторону `CD`, причем основание `H` перпендикуляра лежит на отрезке `CD`. Оказалось, что `DH = BC, AH + AB = 12`. Найдите площадь трапеции `ABCD`.

    Решение:
    Пусть `DH=BC=x, AB=h`.
    Тогда, `AH=12-h`.
    `AD=sqrt(x^2+(12-h)^2)`.
    `S_(ABCD)=1/2h*(x+sqrt(x^2+(12-h)^2))`.
    `/_D=75^0 => AD=x/(sin15^0)=(12-h)/(sin75^0)`.
    `12-h=x*cot15^0`.
    Из формул двойного угла найдем, что `cot15^0=2+sqrt3`.
    `AH=12-h=x(2+sqrt3) => h=12-x(2+sqrt3)`.
    `AD=x*(sqrt6+sqrt2)`.
    Продлим прямую `CD` до пересечения с прямой `AB`. `E` - точка пересечения.
    `DeltaAHD` и `DeltaBCE` подобны по трем углам и равны, поскольку у них равны меньшие катеты.
    `BE=AH=x(2+sqrt3), EC=AD=x*(sqrt6+sqrt2)`.
    `EH=sqrt(AE^2-AH^2)=sqrt((h+AH)^2-AH^2)`,
    `EH=sqrt(h^2+2h*AH)`.
    `S_(AEH)=1/2EH*AH=1/2AH*sqrt(h^2+2h*AH)`.
    Заметим, что `S_(AEH)=S_(ABCD)`.
    `1/2h*(x+AD)=1/2AH*sqrt(h^2+2h*AH)`,
    `x+x*(sqrt6+sqrt2)=x(2+sqrt3)*sqrt(1+(2AH)/h)`,
    `1+sqrt6+sqrt2=(2+sqrt3)*sqrt(1+24/h-2)`,
    `1+sqrt6+sqrt2=(2+sqrt3)*sqrt(24/h-1)`,
    `sqrt(24/h-1)=(1+sqrt6+sqrt2)/(2+sqrt3)`,
    `h=3(4+sqrt2-sqrt6)`,
    `x=(12-h)/(2+sqrt3)=(3sqrt6-3sqrt2)/(2+sqrt3)`.
    `BC+AD=x(1+sqrt6+sqrt2)`.
    `S_(ABCD)=1/2h*x(1+sqrt6+sqrt2)`.
    `S_(ABCD)=18`.
    Или так (без `x` и без нахождения числового значения `h`):
    `S_(ABCD)=S_(AEH)=1/2(12-h)*sqrt(h^2+2h(12-h))`,
    `S=1/2(12-h)*sqrt(24h-h^2)=1/2h^2(12/h-1)*sqrt(24/h-1)`.
    `sqrt(24/h-1)=(1+1/(sin15^0))*tan15^0=(sin15^0+1)/(cos15^0)`.
    `24/h=(2+2sin15^0)/(cos^2(15^0))`,
    `12/h=(1+sin15^0)/(cos^2(15^0))`,
    `12/h-1=(sin^2(15^0)+sin15^0)/(cos^2(15^0))`.
    `h^2=72*(cos^4(15^0))/(1+2sin15^0+sin^2(15^0))`.
    `S=(72cos15^0*(sin^2(15^0)+sin15^0)*(sin15^0+1))/(1+sin15^0)^2`,
    `S=36cos15^0*sin15^0=18`.
    Решение в общем случае:
    Пусть `AB+AH=n => S_(ABCD)=n^2/8`.

    Ответ: `18` или `n^2/8`, если `AB+AH=n`.

    `AB+AH=8 => S=8`.
    `AB+AH=16 => S=32`.
  • Задача №4.
    Натуральное число назовем волшебным, если все его цифры ненулевые и при последовательном удалении старшего разряда из текущего числа на каждом шаге получается делитель этого числа. Например, число `312` — волшебное, так как `312` делится на `12` и `12` делится на `2`. Известно, что существует ровно три волшебных пятизначных числа. Найдите из этих трех чисел среднее по величине.

    Решение:
    Найдем все трехзначные волшебные числа.
    `n=100a+b=kb`,
    `100a=b(k-1)`,
    `100a vdots b, b in [11;99]`.
    `2^2*5^2*a vdots b`.
    `a=1 => b=25`,
    `a=2 => b=25`,
    `a=3 => b=12, 25, 75`,
    `a=4 => b=16, 25`,
    `a=5 => b=25`,
    `a=6 => b=12, 24, 25, 75`,
    `a=7 => b=14, 25, 28, 35`,
    `a=8 => b=16, 32, 25`,
    `a=9 => b=12, 18, 25, 36, 45, 75`.
    Найдем все четырехзначные волшебные числа.
    `n=1000a+b=kb`,
    `1000a=b(k-1)`,
    `1000a vdots b, b in A`, где `A` - множество найденных трехзначных волшебных чисел.
    `1000a=2^3*5^3*a`, значит среди делителей `b` не может быть простого числа, большего `7`, либо двух простых делителей, отличных от `2` и `5`.
    `312 vdots 13, 325 vdots 13, 416 vdots 13, 425 vdots 17, 525 vdots 21, 612 vdots 17, 624 vdots 13, 675 vdots 27`,
    `714 vdots 17, 725 vdots 29, 728 vdots 13, 735 vdots 49, 816 vdots 17, 832 vdots 13, 825 vdots 11`,
    `912 vdots 19, 918 vdots 17, 925 vdots 37, 936 vdots 39, 945 vdots 27, 975 vdots 13`.
    Итак, `b=125, 225, 375, 625`.
    `1000a vdots 125 => a in [1;9]`.
    `1000a vdots 225=3^2*5^2 => a=9`.
    `1000a vdots 375=3*5^3 => a=3;6;9`.
    `1000a vdots 625=5^4 => a=5`.
    Всего получили `14` четырехзначных волшебных чисел.
    Найдем все пятизначные волшебные числа.
    `n=10000a+b=kb`,
    `10000a=b(k-1)`,
    `10000a vdots b, b in B`, где `B` - множество найденных четырехзначных волшебных чисел.
    `10000a=2^4*5^4a`.
    `2125 vdots 17, 4125 vdots 11, 5125 vdots 11, 6125 vdots 49, 7125 vdots 19, 8125 vdots 13, 9125 vdots 73`,
    `9225 vdots 41, 3375 vdots 27,  6375 vdots 17, 9375=5^5*3`,
    Итак, `b=1125, 3125, 5625`.
    `10000a vdots 1125 => a=9`,
    `10000a vdots 3125 => a=5`,
    `1000a vdots 5625 => a=9`.
    Всего получили три пятизначных волшебных числа.
    `53125, 91125, 95625`. Среднее из них равно `91125`.

    Ответ: `91125`.

    Наименьшее число. Ответ `53125`.
    Наибольшее число. Ответ `95625`.
  • Задача №5.
    Множество решений уравнения `x^2 + y^2 = 1` делит координатную плоскость на две части (всё, что внутри заданной этим уравнением окружности, и всё, что вне). А на сколько частей делит координатную плоскость множество решений уравнения
    `|||x|-2|-1|+|||y|-2|-1|=1`?

    Решение:
    `f(x)=|||x|-2|-1|`.
    `x>=0 => f(x)=||x-2|-1|`,
    `x<=0 => f(x)=||x+2|-1|`,
    `x>=2 => f(x)=|x-3|`,
    `0<=x<=2 => f(x)=|x-1|`,
    `-2<=x<=0 > f(x)=|x+1|`,
    `x<= -2 => f(x)=|x+3|`.
    `x>=3 => f(x)=x-3`,
    `2<=x<=3 => f(x)=3-x`,
    `1<=x<=2 => f(x)=x-1`,
    `0<=x<=1 => f(x)=1-x`,
    `-1<=x<=0 => f(x)=x+1`,
    `-2<=x<= -1 => f(x)= -x-1`,
    `-3<=x<= -2 => f(x)=x+3`,
    `x<= -3 => f(x)= -x-3`.
    Заметим, что `f(x)<=1 => -4<=x<=4`.
    График функции `f(x)` представляет собой ломаную из 8 звеньев с локальными минимумами в точках `x=-4;-2;0;2;4` и локальными максимумами в точках `x=-3;-1;1;3`. В минимумах `f(x)=0`, в максимумах `f(x)=1`.
    График функции `-f(x)` представляет собой зеркальное отображение (по горизонтали) графика `f(x)`.
    Аналогично для `y`.
    Пусть `y in [3;4] => f(y)=y-3 => y=4-f(x)`.
    `y in [2;3] => f(y)=3-y => y=f(x)+2`.
    `y in [1;2] => f(y)=y-1 => y=2-f(x)`.
    `y in [0;1] => f(y)=1-y => y=f(x)`.
    `y in [-1;0] => f(y)=y+1 => y= -f(x)`.
    `y in [-2;-1] => f(y)= -y-1 => y=f(x)-2`.
    `y in [-3;-2] => f(y)=y+3 => y= -f(x)-2`.
    `y in [-4;-3] => f(y)= -y-3 => y=f(x)-4`.
    `4-f(x)=f(x)+2` при `f(x)=1`.
    `f(x)+2=2-f(x)` при `f(x)=0` и т.д.
    Для каждой горизонтальной полосы высоты `1` можем легко построить свою ломаную. Ломаные из двух соседних полос совпадают в точках минимумов или точках максимумов.
    Получаем следующий график. Всего `25` закрытых и `1` открытая область, итого `26` областей.
    image
    Упростить решение можно рассмотрением только первой четверти (`x>=0, y>=0`).

    Ответ: `26`.
    Другие варианты:
    `|||x|-3|-1|+|||y|-3|-1|=1`
    image
    Ответ: `21`.

    `|||x|-3|-2|+|||y|-3|-2|=1`
    image
    Ответ: `18`.
  • Задача №6.
    На плоскости отмечены `2500` различных точек, каждая из которых красного или синего цвета. Для каждой синей точки нарисована окружность радиуса `1` с центром в этой точке. Оказалось, что на каждой нарисованной окружности лежат ровно две красные точки. Какое максимальное число отмеченных точек синего цвета могло быть?

    Решение:
    Возьмем на плоскости `2` различные точки:
    а) если расстояние между ними больше `2`, то не существует окружности радиуса `1`, которая проходит через `2` эти точки,
    б) если расстояние между ними `2`, то существует окружность радиуса `1`, которая проходит через `2` эти точки,
    в) если расстояние между ними меньше `2`, то существует `2` окружности радиуса `1`, которые проходят через `2` эти точки,
    Пусть на плоскости расположены `n` красных точек и расстояния между любыми `2`-я из них меньше `2`. Для каждой пары из двух красных точек мы можем добавить только `2` синих точки таких, что окружности радиуса `1` с центром в синих точках проходят через эту пару красных точек. Из `n` красных точек мы можем выбрать пару `(n*(n-1))/2` способами, тогда мы можем добавить на плоскость не более чем `n*(n-1)` синих точек. Всего точек на плоскости `n*(n-1)+n=n^2`.
    `n^2=2500 => n=50 =>` максимальное количество синих точек `2450`.
    Покажем как это можно сделать. Возьмем окружность радиуса меньше `1` и отметим на ней `50` различных красных точек. Для каждой пары красных точек построим пару синих точек. Все `2450` построенные синие точки будут различны. Докажем это от противного: пусть какие-либо `2` синие точки совпали `=>` существует окружность радиуса `1` с центром в этой синей точке такая, что на ней лежат `3` красных точки, но эти `3` красных точки уже лежат на окружности радиуса меньше `1` и через любые `3` точки не лежащие на одной прямой можно провести только одну окружность `=>` получили противоречие и все построенные синие точки различны.

    Ответ: `2450` или `n^2-n` если в условии даны `n^2` различных точек.

    `3600` точек. Ответ `3540`.
    `4900` точек. Ответ `4630`.

Рассылка решений заочных туров олимпиад по математике