Рассылка решений заочных туров олимпиад по математике

Подписывайтесь на нашу рассылку решений заочных туров всех олимпиад по математике: Ломоносов, Покори Воробьевы горы, Высшая проба, Физтех 2017 и другие перечневые олимпиады.

Олимпиада «Высшая проба» 2012-2013 - Задания и решения отборочного этапа по математике


  • Сезон олимпиад 2016-2017 открыт!
    Идет запись на наши курсы подготовки к олимпиадам по математике с гарантированным результатом.
    image
    1. Индивидуальные занятия и консультации.
    2. Помощь в прохождении заочных туров олимпиад. Одна олимпиада 1-5 тыс. руб.
    3. Помощь эксперта на очных турах олимпиад. Одна олимпиада от 30 тыс. руб.
    4. Гарантия успешного результата (курсы ведутся пятый сезон).

    Стоимость курсов от 3000 до 25000 руб. в месяц. Стандартный курс - 10000 руб. в месяц. Длительность курсов - 6 месяцев.
    В составе стандартного курса заочные туры 10 олимпиад и очные туры 2 олимпиад.
    Посмотреть тарифные планы и подробную информацию по курсам подготовки.

    Олимпиада Высшая проба 2015-2016 - задания и решения отборочного этапа по математике.
    Межрегиональная олимпиада школьников «Высшая проба» 2012-2013. Задания и решения отборочного этапа по математике.
    «Высшая проба» — олимпиада 2012-2013 — задания и решения очного тура.
    «Высшая проба» — олимпиада 2012-2013 — задания и решения отборочного этапа.
    Олимпиада «Высшая проба» 2013-2014 — задания и решения отборочного этапа.
  • Задача №1 (Олимпиада «Высшая проба» 2012-2013 - отборочный этап)
    В классе `12` учеников. Их нужно разбить на две группы (первую и вторую), состоящие из четного числа учеников. Сколькими способами это можно сделать?

    Решение:
    Задача сводится к нахождению суммы `S=C_12^2+C_12^4+...+C_12^10`.
    Групп по `0` человек не бывает.
    Используем формулу: `C_12^0+C_12^2+C_12^4+...+C_12^10+C_12^12=2^11 => S=2046`.
    Кто не знает формулу, может и вручную посчитать.
    Ответ: `2046`.
  • Задача №2 (Олимпиада «Высшая проба» 2012-2013 - отборочный этап)
    Найдите максимальное натуральное число `n`, при котором `2013` делится на `n^2+n+1`.

    Решение:
    `2013 vdots n^2+n+1 => 3*11*61 vdots n^2+n+1 iff 3*11*61=m(n^2+n+1)`, где `m in NN`.
    Поэтому `n^2+n+1` может принимать следующие значения (по убыванию): `3*11*61, 11*61, 3*61` и т.д.
    Первые два числа не подходят, проверяем вручную, третье число дает `n=13`.
    Ответ: `13`.

  • Задача №3 (Олимпиада «Высшая проба» 2012-2013 - отборочный этап)
    Куб со стороной `3` состоит из `27` маленьких кубиков со стороной `1`. Какое минимальное число маленьких кубиков надо удалить, чтобы среди центров оставшихся кубиков никакие три не лежали на одной прямой?
    Ответ: `11`.
  • Задача №4 (Олимпиада «Высшая проба» 2012-2013 - отборочный этап)
    В треугольнике `ABC` с медианой `BM` известны `AB = 4, BM = sqrt3, BC = 2`. Найдите в градусах `/_ABC`.

    Решение:
    Формула: медианы `m_b^2=(2a^2+2c^2-b^2)/4`
    Обозначим `AC=x`, тогда `3=(32+8-x^2)/4 iff x^2=28`
    По теореме косинусов из треугольника `ABC: x^2=16+4-16cos/_ABC => cos/_ABC=-1/2 => /_ABC=120^0`.
    Ответ: `120^0`.

  • Задача №5 (Олимпиада «Высшая проба» 2012-2013 - отборочный этап)
    По бильярдному столу в форме прямоугольного треугольника с углом `60^0`, лузами в углах и большим катетом длины `1` покатился шар, и через некоторое время, не закатившись в лузу, был остановлен в той же точке, что и вначале, катящимся в том же направлении, что и вначале. Какое минимальное расстояние он мог прокатиться?
    Ответ: `2`.
  • Задача №6 (Олимпиада «Высшая проба» 2012-2013 - отборочный этап)
    Отправляясь за покупками, некто имел в кошельке около `70` рублей рублевыми и пятирублевыми монетами. Возвратившись, некто принес столько рублевых монет, сколько было у него первоначально пятирублевых, и столько пятирублевых, сколько он имел раньше рублевых монет. Всего же уцелела у него в кошельке треть той суммы, с какой он отправился за покупками. Сколько стоили покупки?
    Ответ: `48`.
  • Задача №7 (Олимпиада «Высшая проба» 2012-2013 - отборочный этап)
    Какое наибольшее количество решений может иметь система уравнений
    `{(y=a_0+|x-a_1|+|x-a_2|+...+|x-a_2013|),(x^2+y^2=1):}`
    при каком-нибудь выборе значений параметров `a_0, a_1, ... ,a_2013`?
    Ответ: `4028`.
  • Задача №8 (Олимпиада «Высшая проба» 2012-2013 - отборочный этап)
    В стране шесть городов: А, Б, В, Г, Д и Е. Их хотят связать пятью авиалиниями так, чтобы из каждого города можно было (быть может, с пересадками) долететь до любого другого. Сколькими различными способами это можно сделать?
    Ответ: `1296`.

  • Задача №9 (Олимпиада «Высшая проба» 2012-2013 - отборочный этап)
    В десятичной записи числа `A` использованы по одному разу все цифры `1,2,...,9` (ноль отсутствует). Найти максимальное возможное значение суммы цифр числа `11*A`.
    Ответ: `72`.
  • Задача №10 (Олимпиада «Высшая проба» 2012-2013 - отборочный этап)
    Сколькими способами можно заполнить цифрами (`0,1,...,9`, можно с повторениями) таблицу `3`х`3`, чтобы сумма цифр в каждой строке и в каждом столбце равнялась `6`?
    Ответ: `406`.

Рассылка решений заочных туров олимпиад по математике