Рассылка решений заочных туров олимпиад по математике

Подписывайтесь на нашу рассылку решений заочных туров всех олимпиад по математике: Ломоносов, Покори Воробьевы горы, Высшая проба, Физтех 2017 и другие перечневые олимпиады.

Олимпиада «Физтех 2014» / Олимпиада МФТИ по математике 2013-2014 / Задания и решения


  • Сезон олимпиад 2016-2017 открыт!
    Идет запись на наши курсы подготовки к олимпиадам по математике с гарантированным результатом.
    image
    1. Индивидуальные занятия и консультации.
    2. Помощь в прохождении заочных туров олимпиад. Одна олимпиада 1-5 тыс. руб.
    3. Помощь эксперта на очных турах олимпиад. Одна олимпиада от 30 тыс. руб.
    4. Гарантия успешного результата (курсы ведутся пятый сезон).

    Стоимость курсов от 3000 до 25000 руб. в месяц. Стандартный курс - 10000 руб. в месяц. Длительность курсов - 6 месяцев.
    В составе стандартного курса заочные туры 10 олимпиад и очные туры 2 олимпиад.
    Посмотреть тарифные планы и подробную информацию по курсам подготовки.

    Олимпиада Физтех 2016 - задания и решения отборочного этапа по математике.
    Олимпиада «Физтех 2014». Олимпиада МФТИ по математике 2013-2014. Задания и подробные решения.

    Олимпиада «Физтех 2013» - задачи и решения очного тура (8 вариантов).
    Олимпиады «Физтех 2013» - задачи и решения заочного тура.
    Стартовала олимпиада «Физтех 2014» по математике и физике (решения выложены на нашем форуме). Прошедший учебный год принес некоторые изменения, а именно - уровень олимпиады по математике стал вторым, хотя ранее был первым. Для поступающих в ГУ МФТИ это не играет никакой роли, поскольку льготы остались прежними - традиционно льготы первого порядка (поступление без экзаменов) в МФТИ предоставляются только для призеров Всероссийской олимпиады, призеры остальных олимпиад могут рассчитывать максимум на 100 баллов за ЕГЭ. Но для поступающих в другие вузы (например, МГУ или НИУ ВШЭ), понижение уровня олимпиады «Физтех 2013» имеет большое значение, поскольку олимпиады этих вузов обладают первым уровнем, а значит дипломы олимпиады МФТи уже могут и не дать льготы при поступлении в эти вузы.

    Олимпиада «Физтех 2014». Заочный тур по математике. Задания и решения.


    Онлайн этап (заочный тур) олимпиады «Физтех 2014» проводится с октября по январь. Задачи вы решаете в режиме онлайн, всего дается 20 заданий на 24 часа. Приступить к решению задач вы можете в любой момент, но должны уложиться в 24 часа. Два раза проходить заочный тур запрещено правилами олимпиады. Как показывает практика, у всех участников задания заочного тура олимпиады «Физтех 2014» однотипные, просто с разными числами, но алгоритмы решений одинаковые. На нашем сайте выкладываются общие алгоритмы решений всех задач заочного тура олимпиады. Первые 10 заданий относительно простые, доступны обычному школьнику, остальные задания олимпиадного характера. Для прохождения на очный этап может хватить 12-14 правильных ответов. Полные решения не требуются, достаточно ввести ответы. Посмотрите на нашем форуме задания и решения заочного тура олимпиады «Физтех 2013» по математике.
    Отметим, что пройти на очный тур можно и другими способами, в т.ч. написав отборочный этап в очной форме. В любом случае, все отборочные этапы олимпиады «Физтех 2014» завершаются 31 января 2014 года.

    Олимпиада МФТИ «Физтех 2014». Очный тур по математике.


    Очный тур олимпиады МФТИ по математике проводится в марте, обычно во второй половине месяца. Места проведения олимпиады - Долгопрудный, Жуковский и несколько регионов. Задания Долгопрудного отличаются от выездных заданий, хотя идеи могут быть общие.
    В последние два учебных года формат заданий поменялся. Если раньше давали 6 заданий, при этом все школьного уровня, сейчас заданий 8, в составе которых две олимпиадные.
    Задания всех лет (+экспертные решения) очного тура олимпиады МФТИ по математике выложены на нашем форуме.
    Олимпиада МФТИ, особенности очного тура по математике: все задачи сильно вычислительные, можно легко допустить ошибку. Первые 4 задачи школьного уровня, 5 и 6 - параметрическая задача (сложнее С5 ЕГЭ по математике) и стереометрия. И две олимпиадные, но начального уровня, есть схожие с С6 ЕГЭ по математике. Диплом 3 степени можно получить за правильное решение 4 задач, 2 степень за 5 заданий и 1 степень за 6 задач. Раньше была балльная система, т.е. можно было получить баллы за частичное решение. В последние годы перешли на систему плюс-минусов, т.е. засчитывают только правильные решения.

    Олимпиада «Физтех 2014» по математике. Задания и подробные решения на нашем форуме.
  • Задача №1 - олимпиада Физтех 2014 по математике (онлайн-этап)
    Семейные праздники
    У семейной пары дни рождения в один и тот же день. При очередном праздновании их общего дня рождения муж заметил, что сейчас ему вдвое больше лет, чем было его жене тогда, когда ему было столько лет, сколько жене сейчас. А когда ей будет столько лет, сколько ему теперь, им обоим вместе будет `72` года. Сколько лет мужу сейчас?

    Решение:
    Есть три момента времени.
    Момент 1 (настоящее время): мужу `x` лет, жене `y` лет.
    Момент 2 (прошлое): мужу `y` лет, жене `x/2` лет (по условию).
    Момент 3 (будущее): мужу `72-x` лет, жене `x` лет.
    В каждый момент времени разность возрастов остается неизменной, получаем равенства:
    `x-y=y-x/2=72-x-x`.
    Из первого равенства `y=3/4x => 1/4x=72-2x => x=32`.

    Ответ: `32`.
  • Задача №2 - олимпиада Физтех 2014 по математике (онлайн-этап)
    Последовательность

    Последовательность `a_n` такова, что `a_1=5, a_2=20`. Найдите `a_1001`, если для любого натурального `n` справедливо равенство `a_(n+1)=a_n*a_(n+2)`.

    Решение:
    Из формулы: `a_(n+2)=(a_(n+1))/(a_n)`
    тогда `a_3=4, a_4=1/5, a_5=1/20, a_6=1/4, a_7=5, a_8=20`.
    Значит наша последовательность выгладит так:
    `5, 20, 4, 1/5, 1/20, 1/4, 5, 20, 4 ...`
    `a_(6k+1)=5, a_(6k+2)=20, a_(6k+3)=4, a_(6k+4)=1/5, a_(6k+5)=1/20, a_(6k+6)=1/4` для всех `k in ZZ^(+)`
    Значит `a_(1001)=a_(6*166+5)=a_5=1/20=0,05`.

    Ответ: `0,05`.

  • Задача №3 - олимпиада Физтех 2014 по математике (онлайн-этап)
    Тангенс суммы

    Известно, что `tanalpha+tanbeta=18`, а `cottanalpha+cottanbeta=27`. Найдите `tan(alpha+beta)`.

    Решение:
    Используем формулу `tan(alpha+beta)=(tanalpha+tanbeta)/(1-tanalphatanbeta)`
    Обозначим `tanalpha=x, tanbeta=y`, тогда
    `{(x+y=18),(1/x+1/y=27):} => {(x+y=18),((x+y)/(xy)=27):} => {(x+y=18),(xy=2/3):}`
    Значит, `tan(alpha+beta)=(x+y)/(1-xy)=18/(1-2/3)=54`
    Отмечу, что решать систему нет необходимости!

    Ответ: `54`.
  • Задача №4 - олимпиада МФТИ Физтех 2014 по математике (онлайн-этап)
    Наименьшее значение

    При каком значении параметра `a` значение выражения `x_1^2+x_2^2` будет наименьшим, если `x_1, x_2` — корни уравнения `x^2+ax+a–2=0`?

    Решение:
    По т. Виета: `x_1+x_2=-a, x_1*x_2=a-2 =>`
    `=> x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2=a^2-2a+4=f(a)`
    Нам надо найти `a_min` для функции `f(a)`, при котором уравнение `x^2+ax+a-2=0` имеет корни, т.е.
    `D=a^2-4a+8>0`, но это верно при всех `a in RR`, поэтому просто ищем минимум `f(a)`.
    `f(a)=(a-1)^2+3>=3 => a_min=1`.

    Ответ: `1`.
  • Задача №5 - олимпиада МФТИ Физтех 2014 по математике (онлайн-этап)
    Делители куба

    Натуральное число имеет ровно два простых делителя. Его квадрат имеет `51` различный натуральный делитель. Какое наибольшее количество различных натуральных делителей может иметь куб этого числа?

    Решение:
    Пусть `n` наше число, тогда `n=p^x*q^y`, где `p!=q` - простые, `x,y in NN`.
    Тогда `n^2=p^(2x)*q^(2y)`, при этом число различных натуральных делителей `n^2` составляет `(2x+1)(2y+1)`.
    Это легко посчитать, выписав все делители в таблицу:
    `1, p, p^2, ..., p^(2x)` - `2x+1` делителей
    `q, pq, p^2q, ..., p^(2x)q` - `2x+1` делителей
    `...`
    `q^(2y), pq^(2y), ..., p^(2x)q^(2y)` - `2x+1` делителей.
    Таблица с `2x+1` столбцами и `2y+1` строками, всего элементов `(2x+1)(2y+1)`.

    Получили уравнение в натуральных числах `(2x+1)(2y+1)=51=3*17`.
    `2x+1>1, 2y+1>1`, поэтому получаем два симметричных решения `(x,y)=(1,8), (8,1)`.
    `n=p*q^8` или `n=p^8*q`, в обоих случаях получаем одно и то же число делителей для `n^3`.
    `n^3=p^3*q^24 =>` число делителей равно `(3+1)(24+1)=100`.

    Ответ: `100`.
  • Задача №6 - олимпиада МФТИ Физтех 2014 по математике (онлайн-этап)
    Монотонность

    При каком наименьшем значении параметра `a` функция `4x^3+18x^2+ax+3` будет возрастать на всей числовой оси?

    Решение:
    Найдем производную `f'(x)=12x^2+36x+a`.
    `f(x)` монотонно возрастает `iff f'(x)>=0 AA x in RR`
    Значит, `12x^2+36x+a=3(4x^2+12x)+a=3(2x+3)^2+a-27>=0 AA x in RR`
    Это верно `iff a-27>=0 => a>=27`, т.е. `a_min=27` (понятно, что этот `a` годится).

    Ответ: `27`.
  • Задача №7 - первый тур по математике (Физтех 2014)
    Три окружности

    В равнобедренном треугольнике `ABC` проведена медиана `AM` к боковой стороне. Найдите квадрат радиуса окружности, описанной около треугольника `ABC`, если радиусы окружностей, описанных около треугольников `ABM` и `AMC`, равны `36` и `18`.

    Решение:
    1. `(AC)/(singamma)=2R_1=36, (AB)/(singamma)=2R_2=72 => (AB)/(AC)=2`, где `gamma=/_AMC`
    Обозначим `AC=x => AC=CM=MB=x, AB=BC=2x`.
    2. По формуле медианы, `AM=1/2sqrt(8x^2+2x^2-4x^2)=x*sqrt(3/2)`.
    3. Известно, что `S_(ABM)=S_(AMC)=1/2S_(ABC)=1/2S`.
    Используем формулу радиуса описанной окружности `R=(abc)/(4S)`.
    Для треугольника `ABM`: `36=(x^3sqrt6)/(2S) => x^3/S=72/sqrt6`
    Для треугольника `ABC`: `R=(4x^3)/(4S)=x^3/S=72/sqrt6`
    `R^2=864`.

    Ответ: `864`.
  • Задача №8 - первый тур по математике (Физтех 2014)
    Ломаные

    Отметили все вершины правильного `12`-тиугольника. Сколько существует незамкнутых несамопересекающихся десятизвенных ломаных с вершинами в отмеченных точках?

    Правильность `12`-тиугольника используется только в том смысле, что многоугольник выпуклый.
    У ломаной `10` звеньев, значит у нее `11` вершин. Первую вершину можно выбрать `12` способами. `k`-ую вершину можно выбрать `2` или `4` способами. `2` способа - когда выбирается соседняя точка для одной из предыдущих вершин, `4` способа - когда выбираются соседние и соседние к этим соседним. При этом, выбрать соседнюю к соседней точке можно только `1` раз, иначе получим, что ломаная самопересекается. По последней точке будет `1` способ или `2`, в зависимости от того, выбрана была соседняя к соседней или нет.
    Если была выбрана соседняя к соседней, то число способов будет `12*4*2^8`. Если не была выбрана соседняя к соседней, то число способов будет равно `12*2^9*2`. В обоих случаях ответ равный.
    Поскольку не учитывались начало и конец ломаных, то найденное количество надо поделить на `2`.
    Итого, `12*2^9=6144`.

    Ответ: `6144`.
  • Задача №9 - отборочный по математике (Физтех 2014)
    Знаменатель прогрессии

    Какое наибольшее значение может иметь знаменатель геометрической прогрессии `b_1,b_2,…,` если число `0,1` является корнем уравнения
    `b_12x^11+…+b_3x^2+b_2x+b_1=0`.

    Решение:
    Как известно, `b_n=b_1*q^(n-1)`, поэтому из уравнения получаем:
    `b_1*q^11*x^11+...b_1*q*x+b_1=0`
    обозначим `xq=q/10=p => b_1(p^11+p^10+...+p+1)=0`
    По определению геом. прогрессии, `b_1!=0 => f(p)=p^11+p^10+...+p+1=0`
    `f(p)=(p^12-1)/(p-1)` (по формуле или через сумму прогрессии) `=> p^12=1 iff p=+-1`.
    Но `p!=1` (например, по ОДЗ) `=> p=-1`.
    Значит `q=10p=-10`.

    Ответ: `-10`.
  • Задача №10 - отборочный этап по математике (Физтех 2014)
    Боковая сторона

    В равнобедренный треугольник `ABC` (`AB=BC`) вписана окружность. Через точку `D`, лежащую на стороне `AB`, проведена касательная к окружности, пересекающая прямую `AC` в точке `E`. Найдите длину боковой стороны треугольника `ABC`, если `AC=24, CE=36` и `BD=(AB)/5`.

Рассылка решений заочных туров олимпиад по математике