Рассылка решений заочных туров олимпиад по математике

Подписывайтесь на нашу рассылку решений заочных туров всех олимпиад по математике: Ломоносов, Покори Воробьевы горы, Высшая проба, Физтех 2017 и другие перечневые олимпиады.

Олимпиада «Физтех 2013» по математике / Задания и решения очного тура (8 вариантов)


  • Сезон олимпиад 2016-2017 открыт!
    Идет запись на наши курсы подготовки к олимпиадам по математике с гарантированным результатом.
    image
    1. Индивидуальные занятия и консультации.
    2. Помощь в прохождении заочных туров олимпиад. Одна олимпиада 1-5 тыс. руб.
    3. Помощь эксперта на очных турах олимпиад. Одна олимпиада от 30 тыс. руб.
    4. Гарантия успешного результата (курсы ведутся пятый сезон).

    Стоимость курсов от 3000 до 25000 руб. в месяц. Стандартный курс - 10000 руб. в месяц. Длительность курсов - 6 месяцев.
    В составе стандартного курса заочные туры 10 олимпиад и очные туры 2 олимпиад.
    Посмотреть тарифные планы и подробную информацию по курсам подготовки.

    Олимпиада Физтех 2016 - задания и решения отборочного этапа по математике.
    Олимпиада «Физтех 2013» по математике. Задания и решения очного тура (8 вариантов).
    Олимпиада «Физтех 2014» - главная тема (задания и решения обоих этапов).
    Олимпиада «Физтех 2013» по математике - задания и решения отборочного этапа.
  • Вариант 1, Долгопрудный, очный тур по математике.
    Задача №1 (олимпиада «Физтех 2013» по математике - очный тур)

    Решите уравнение `log_(3^(x+1))(x^2-11x+19)+log_(27^(x-1))x^3=2/(x-1)`
    (в основаниях логарифмов `3^(x+1)` и `27^(x-1)`)

    Решение:
    ОДЗ `{(x^2-11x+19>0),(x>0),(x!=1):}`
    при этом первое условие учитывать нет необходимости, т.к. это условие уже учтено в самом уравнении, ниже будет видно.
    Преобразуем уравнение:
    `1/(x-1)log_3(x^2-11x+19)+3/(3(x-1))log_3x=2/(x-1) => x^3-11x^2+19x=9`
    `x^3-x^2-10x^2+10x+9x-9=0 => (x-1)(x^2-10x+9)=0`
    `x=1, x=9` - подходит только второй корень.

    Ответ: `x=9`.
  • Задача №2 (олимпиада «Физтех 2013» по математике - очный тур)
    Решите неравенство `1/sqrt(|x+1|-2)<=1/(9+x)`

    Решение:
    Из условия задачи следует, что `1/(9+x)>=0 => x> -9`.
    Тогда имеем право умножить обе части неравенства на положительное выражение `(9+x)sqrt(|x+1|-2)`
    `9+x<=sqrt(|x+1|-2)`
    Обе части неравенства положительны, имеем право возвести в квадрат:
    `(9+x)^2<=|x+1|-2`
    Заметим, что условие ОДЗ `|x+1|-2>=0` уже учтено в самом неравенстве, ведь `(9+x)^2>=0` при любых `x`.
    `|x+1|>=x^2+18x+83` - получаем совокупность двух неравенств:
    `x^2+17x+82<=0`
    `x^2+19x+84<=0`
    Решением совокупности будет отрезок `x in [-12;-7]`, пересечем с условием `x> -9`, получим, что `x in (-9;7]`.

    Ответ: `x in (-9;7]`.
  • Задача №3 (олимпиада «Физтех 2013» по математике - очный тур)
    Решите уравнение `sqrt(3+4cos^2x)=sinx/sqrt3+3cosx`

    Решение:
    ОДЗ `sinx/sqrt3+3cosx>=0`.
    Возведем уравнение в квадрат:
    `3+cos^2x=sin^2x/3+2sqrt3sinxcosx+9cosx^2x`
    `3(sin^2x+cos^2x)+cos^2x=sin^2x/3+2sqrt3sinxcosx+9cosx^2x`
    `2cos^2x+2sqrt3sinxcosx-8/3sin^2x=0`
    Получили стандартное однородное уравнение, которое решается делением обеих частей уравнения на `sin^2x`. Понятно, что `sinx=0` не является решением уравнения, т.к. тогда `cosx=0`, значит `sin^2x+cos^2x=0` - противоречие.
    Получаем уравнение `cottan^2x+sqrt3cottanx-4/3=0`
    `cottanx=1/sqrt3` или `cottanx=-4/sqrt3`
    `x=pi/3+pik` или `x=-arctan(sqrt3/4)+pin`, где `n,k in ZZ`
    На круге выкидываем лишние корни по ОДЗ,
    остается `x=pi/3+2pik` или `x=-arctan(sqrt3/4)+2pin`, где `n,k in ZZ`

    Ответ: `x=pi/3+2pik` или `x=-arctan(sqrt3/4)+2pin`, где `n,k in ZZ`.
  • Задача №4 (олимпиада «Физтех 2013» по математике - очный тур)
    Число `72350` написали `7` раз подряд, при этом получилось `35`-значное число `72350723507235072350723507235072350`. Из этого `35`-значного числа требуется вычеркнуть две цифры так, чтобы полученное после вычёркивания `33`-значное число делилось на `15`. Сколькими способами это можно сделать?

    Решение:
    Для того, чтобы число делилось на `15`, необходимо и достаточно, чтобы оно делилось на `3` и на `5`. Для делимости на `5` нужно, чтобы последней цифрой числа была `0` или `5`. Значит, полученное число будет делиться на `5`, если мы вычеркнем любые две цифры, кроме двух последних. Перейдём к делимости на `3`. Если в числе заменить все цифры `7` на `1`, цифры `3` на `0`, а цифры `5` на `2`, то остаток от деления числа на `3` не изменится (остаток от деления числа на `3` равен остатку от деления суммы цифр этого числа на `3`).
    Таким образом, нужно узнать, сколькими способами можно вычеркнуть две цифры из числа
    `X = 12020120201202012020120201202012020` так, чтобы полученное число делилось на `3`. Сумма цифр числа `X` равна `35`. Чтобы после вычёркивания сумма цифр делилась на `3`, мы можем вычеркнуть либо а) две единицы, либо б) двойку и ноль. Количество способов вычеркнуть две единицы равно `C_7^2=21`; количество способов вычеркнуть один ноль и одну двойку равно `C_14^1*C_14^1=196`.
    Две последние цифры вычёркивать нельзя, поэтому получаем `196 + 21 - 1 = 216` способов.

    Ответ: `216`.
  • Задача №5 (олимпиада «Физтех 2013» по математике - очный тур)
    В параллелограмме `ABCD` угол `ADC` равен `arcsin(sqrt24/5)`. Окружность `Omega`, проходящая через точки `A, C` и `D` , пересекает стороны `AB` и `BC` в точках `N` и `L` соответственно, причём `AN = 11`, `BL = 6` . Найдите площадь параллелограмма `ABCD` и радиус окружности `Omega` .

    Решение:
    Трапеция `ADCN` вписана в окружность, поэтому она равнобокая, `CN = AD`. Противоположные стороны параллелограмма равны: `BC = AD`. Следовательно, `CN = BC`, поэтому треугольник `BNC` равнобедренный. `/_CBN=/_ADC=arcsin(sqrt24/5)=arccos(1/5)`.
    Пусть `CH` – высота треугольника `BNC`.
    Тогда `1/5=cos/_HBC=(BH)/(BC)=(BN)/(2BC)`
    Пусть `BC=5x => BN=2x`.
    Из точки `B` к окружности проведены секущие `BLC` и `BNA` . По теореме о двух секущих получаем, что `BN * BA = BL * BC`, т.е. `2x(2x +11) = 6 * 5x`, откуда `x = 2` . Значит, `BC = 10, AB = 15`. Поэтому площадь `S` параллелограмма `ABCD` равна `AB*BC*sin/_ABC=60sqrt6`.
    Окружность `Omega` является описанной около треугольника ADC . Её радиус `R` равен `(AC)/(2sin/_ADC)`. Сторону `AC` находим по теореме косинусов из треугольника `ADC`:
    `AC^2=100+225-2*10*15*1/5=265 => AC=sqrt265, R=5/4*sqrt(265/6)`.

    Ответ: `S=60sqrt6, R=5/4*sqrt(265/6)`.
  • Задача №6 (олимпиада «Физтех 2013» по математике - очный тур)
    При каких значениях параметра `a` существует единственная пара чисел `(x; y)`, удовлетворяющая системе неравенств
    `{((x^2-xy+y^2)(x^2-36)>=0),(|x-2+y|+|x-2-y|<=a):}`

    Решение:
    Обозначим `f(x,y)=x^2-xy+y^2`
    Если `xy>=0 => f=(x-y)^2+xy>=0` при всех таких `x,y`
    Если `xy<=0 => f=(x+y)^2-3xy>=0` при все таких `x,y`
    Итак, `f>=0` при всех `x,y`, при этом легко заметить, что `f=0 iff x=y=0`.
    Поэтому первое неравенство системы эквивалентно совокупности
    `x=y=0`
    или `x^2-36>=0 iff x in (-oo;-6]uu[6;+oo)`
    Изобразим множество точек, удовлетворяющих этой совокупности, на координатной плоскости. Получаем все точки, лежащие на прямой `x=-6` и левее неё, точки на прямой `x=6` и правее неё, а также точку `(0; 0)`.
    Перейдём ко второму неравенству. Проведём на координатной плоскости прямые `x - 2 + y = 0` и `x - 2 - y = 0`. Они разбивают плоскость на `4` области, в каждой из которых знаки выражений под модулями постоянны. Рассматриваем `4` случая.
    `x-2+y>=0, x-2-y>=0`: `x-2+y+x-2-y<=a iff x<=2+a/2`
    `x-2+y<0, x-y-2>=0`: `-x+2-y+x-2-y<=a iff y>= -a/2`
    `x-2+y<0, x-2-y<0`: `-x+2-y-x+2+y<=a iff x>=2-a/2`
    `x-2+y>=0, x-2-y<0`: `x-2+y-x+2+y<=a iff y<=a/2`
    Окончательно получаем, что при `a = 0` неравенство задаёт точку `(2; 0)`, при `a > 0` – квадрат с центром в точке `(2; 0)` и стороной `a`, а при `a < 0` – пустое множество.
    Очевидно, при `a <= 0` система не имеет решений. При `a > 0` для того, чтобы было единственное решение, нужно, чтобы точка `(0; 0)` попадала в квадрат, но чтобы квадрат не пересекал прямую `x = 6`, откуда следует, что `4<=a/2<4`, т.е. `4<=a<8`.

    Ответ: `4<=a<8`.
  • Задача №7 (олимпиада «Физтех 2013» по математике - очный тур)
    В основании треугольной пирамиды `SABC` лежит прямоугольный треугольник `ABC` с гипотенузой `BC = 2sqrt3` . Сфера `omega` касается плоскости основания пирамиды и касается всех трёх её боковых рёбер в их серединах. Пусть `Omega` – сфера, описанная около пирамиды `SABC`.
    а) Найдите расстояние между центрами сфер `omega` и `Omega`.
    б) Найдите отношение радиусов сфер `omega` и `Omega`.
    в) Пусть дополнительно известно, что `/_SAB = arccos (1/4)`. Найдите объём пирамиды `SABC`.

    Решение:
    Пусть `O` – центр сферы `omega; K, L, M` – основания перпендикуляров, опущенных из точки `O` на рёбра `AS, BS, CS` соответственно; `SH` – высота пирамиды `SABC`; `r` и `R` – радиусы сфер `omega` и `Omega` соответственно.
    а) Поскольку точка `O` лежит на серединном перпендикуляре к отрезку `AS`, она равноудалена от концов этого отрезка, т.е. `OA = OS`. Аналогично `OB = OS` и `OC = OS`. Значит, `OA = OB = OC = OS`, поэтому точка `O` является центром сферы `Omega`. Следовательно, расстояние между центрами сфер равно нулю.
    б) Из равенства прямоугольных треугольников `SOK, SOL` и `SOM` (`OK = OL = OM = r` , `OS` – общая сторона) следует, что `SK = SL = SM`. Поскольку точки `K, L, M` – это середины боковых рёбер пирамиды, отсюда получаем, что боковые рёбра равны между собой. Тогда высота пирамиды проходит через центр окружности, описанной около основания (действительно, `DeltaSHA =DeltaSHB = DeltaSHC` по катету и гипотенузе, откуда `AH = BH = CH`). Но в пирамиде `OABC` боковые рёбра `OA, OB, OC` также равны между собой как радиусы сферы `Omega`; значит, и её высота, проведённая из вершины `O` проходит через центр окружности, описанной около основания. Таким образом, высота пирамиды `SH` проходит через точку `O`.
    Кроме того, точка `H` является центром окружности, описанной около основания. Поскольку треугольник `ABC` прямоугольный, `H` – это середина гипотенузы `BC`. Так как отрезок `OH` перпендикулярен плоскости основания, он равен радиусу `r` сферы `omega`.
    Для нахождения соотношения между радиусами рассмотрим прямоугольный треугольник `SHC`. Точка `M` – середина гипотенузы `SC`, на катете `SH` находится точка `O`, причём `SO = CO = R , OH = OM = r`.
    Треугольники `CHO, CMO` и `SMO` равны по катету и гипотенузе, следовательно, `CH = CM = SM`. Значит, `CH =1/2 SM`, `/_HSC=30^0`. Тогда из треугольника `SOM` находим, что `r : R = 1: 2` .
    в) `SC = 2CH = BC = 2sqrt3`, поэтому треугольник `SBC` – равносторонний, `SH=SB*sqrt3/2`. В равнобедренном треугольнике `SAB` известны боковые стороны `SB = SA = 2sqrt3` и угол при основании `/_SAB=arccos(1/4)`. Отсюда находим, что `AB = 2SA * cos/_SAB = sqrt3`. По теореме Пифагора для треугольника `ABC` находим, что `AC = 3`, поэтому `S_(ABC)=1/2*3*sqrt3`; объем пирамиды `V` равен `1/3*3*(3sqrt3)/2=(3sqrt3)/2`.

    Ответ: а) `0`; б) `1:2`; в) `(3sqrt3)/2`.
  • Задача №8 (олимпиада «Физтех 2013» по математике - очный тур)
    Дан правильный `18`-угольник. Найдите количество троек его вершин, являющихся вершинами треугольника, в котором хотя бы один угол равен `40^0`. (Две тройки вершин, отличающиеся порядком вершин, считаются одинаковыми.)

    Решение:
    Опишем вокруг `18`-угольника окружность. Будем считать, что длина окружности равна `18` (тогда длина дуги между соседними вершинами равна `1`). Вписанный угол в `40` градусов стягивет дугу
    длиной `4`. Значит, для данной вершины `A` найдутся `18 - 4 -1 = 13` (неупорядоченных) пар вершин `(B, C)`, для которых `/_BAC = 40^0`. Суммируя по всем вершинам, получаем `13*18 = 234` тройки вершин. При таком подсчёте дважды учтены `18` равнобедренных треугольников с углами `40^0, 40^0, 100^0` (положение равнобедренного треугольника однозначно определяется положением его вершины), поэтому в итоге получаем `234 - 18 = 216` способов расположения точек.

    Ответ: `216`.
  • Вариант 5, Выезд, очный тур по математике, Физтех 2013

    Задача №1 (олимпиада «Физтех 2013» по математике - очный тур)
    Решите уравнение
    `log_(6^(x-2))x^2+log_(36^(x-2))(x-5)^4=2/(x-2)`
    (в основаниях логарифмов `6^(x-2)` и `36^(x-2)`)

    Решение:
    ОДЗ: `{(x!=2),(x!=0),(x!=5):}`
    При таком ОД можем преобразовать уравнение:
    `2/(x-2)log_6|x|+4/(2(x-2))log_6|x-5|=2/(x-2)`
    `x!=2`, умножим уравнение на `x-2`
    `log_6|x^2-5x|=1 iff |x^2-5x|=6 =>`
    `x^2-5x=6` или `x^2-5x=-6`,
    `x=-1,2,3,6`.
    `x=2` выкидываем по ОДЗ.

    Ответ: `x=-1,3,6`.
  • Задача №2 (олимпиада «Физтех 2013» по математике - очный тур)
    Решите уравнение
    `2sqrt7sin(x/2-pi/2)=sqrt(27+sin(3x+pi/2))`

    Решение:
    ОДЗ: `sin(x/2-pi/2)>=0`, второе условие выполняется всегда, т.к. `|sint|<=1`.
    Возведем в квадрат: `14sin^2(x/2-pi/2)=27+sin(3x+pi/2)`
    Преобразуем уравнение, используя формулы приведения и косинуса тройного угла:
    `14-14cos(x-pi)=27+cos3x iff 4cos^3x-17cosx+13=0`.
    Замена `cosx=t, |t|<=1: 4t^3-17t+13=0`,
    `4t^3-4t-13t+13=0 iff (t-1)(4t^2+4t-13)=0 => t=1` или `t=(-1+-sqrt14)/2`,
    но `|(-1+-sqrt14)/2|>1`, поэтому остается только корень `t=1`.
    `cosx=1 => x=2pik, k in ZZ`.
    Пересечем с ОДЗ на тригонометрическом круге, получим, что `k=2n+1, n in ZZ`.
    Тогда `x=2pi+4pin, n in ZZ`.

    Ответ: `x=2pi+4pin, n in ZZ`.

Рассылка решений заочных туров олимпиад по математике