Рассылка решений заочных туров олимпиад по математике

Подписывайтесь на нашу рассылку решений заочных туров всех олимпиад по математике: Ломоносов, Покори Воробьевы горы, Высшая проба, Физтех 2017 и другие перечневые олимпиады.

Олимпиада «Физтех 2013» по математике / Задания и решения очного тура (8 вариантов)

  • Задача №3 (олимпиада «Физтех 2013» по математике - очный тур)
    Решите неравенство `((6|x-2|)/(x^2+21))^(x+sqrt(x^2-6))>1`
    (в степени `x+sqrt(x^2-6)`)

    Решение:
    ОДЗ: `x!=2`
    Пусть `f(x)=(6|x-2|)/(x^2+21)`. Очевидно, что `f(x)>0` при всех `x` из ОДЗ.
    Преобразуем `f(x)=1+(6|x-2|-x^2-21)/(x^2+21)=1+g(x)`.
    Если `x>=2`: `g(x)=(-x^2+6x-33)/(x^2+21)=(-(x+3)^2-24)/(x^2+21)`
    Если `x<2`: `g(x)=(-x^2-6x-9)/(x^2+21)=-(x+3)^2/(x^2+21)`
    Итого `g(x)<0` при всех `x!=-3 => f(x)<1` при всех `x!=-3`.
    `x=-3`: `1>1` - неверно, поэтому `x=-3` не является решением.
    Логарифмируем наше неравенство по основанию `0<f(x)<1`:
    `x+sqrt(x^2-6)<0 iff sqrt(x^2-6)<-x iff {(x<0),(x^2-6>=0),(x^-6<x^2):} => x in (-oo;-sqrt6]`.
    Учтем, что `x=-3` и `2`, тогда `x in (-oo;-3)uu(-3;-sqrt6]`.

    Ответ: `x in (-oo;-3)uu(-3;-sqrt6]`.
  • Задача №4 (олимпиада «Физтех 2013» по математике - очный тур)
    Число `58964` написали `8` раз подряд, при этом получилось `40`-значное число `5896458964589645896458964589645896458964`. Из этого `40`-значного числа требуется вычеркнуть две цифры так, чтобы полученное после вычёркивания `38`-значное число делилось на `6`. Сколькими способами это можно сделать?

    Решение:
    Для того, чтобы число делилось на `6`, необходимо и достаточно, чтобы оно делилось на `2` и на `3`. Для делимости на `2` нужно, чтобы последней цифрой числа была `0, 2, 4, 6` или `8`. Значит, полученное число будет делиться на `2`, если мы вычеркнем любые цифры, кроме двух последних. Перейдём к делимости на `3`.
    Если в числе заменить все цифры `4` на `1`, цифры `9` и `6` на `0`, а цифры `5` и `8` на `2`, то остаток от деления числа на `3` не изменится (остаток от деления числа на `3` равен остатку от деления суммы цифр этого числа на `3`). Таким образом, нужно узнать, сколькими способами можно вычеркнуть две цифры из числа `X = 2200122001220012200122001220012200122001` так, чтобы полученное число делилось на `3`. Сумма цифр числа `X` равна `40`. Чтобы после вычёркивания сумма цифр делилась на `3`, мы можем вычеркнуть либо а) две двойки, либо б) единицу и ноль. Количество способов вычеркнуть две двойки равно `C_16^2=120`; количество способов вычеркнуть один ноль и одну единицу равно `C_16^1*C_8^1=128`.
    Две последние цифры вычёркивать нельзя, поэтому получаем `128 + 120 - 1 = 247` способов.

    Ответ: `247`.

  • Задача №5 (олимпиада «Физтех 2013» по математике - очный тур)
    Дана прямоугольная трапеция `ABCD` с основаниями `BC` и `AD` , причём `BC < AD` , `/_BCD = 90^0`. Точка `M` – середина отрезка `CD`. Известно, что окружность радиуса `5` проходит через точки `A` и `B` и касается стороны `CD` в точке `M`, а `cos/_BMC=(2sqrt2)/3`. Найдите длины отрезков `AB` и `BC`, а также площадь трапеции.

    Решение:
    Поскольку окружность касается `CD`, её центр `O` лежит на перпендикуляре к `CD` в точке `M`. С другой стороны, `O` лежит на серединном перпендикуляре к `AB`. Эти две прямые пересекаются в середине `AB`. Значит, `O` — середина `AB`, и `AB` — диаметр окружности, откуда `AB = 2R = 10`.
    Обозначим `/_BMC = phi`. Тогда дуга `BM` равна `2phi` (теорема об угле между касательной и хордой), а `/_BAM = phi` (теорема о вписанном угле). Далее находим, что `/_BMA = 90^0` (опирается на диаметр), `/_DAM = 90^0 - /_DMA = 90^0 - (180^0 - /_BMA - /_BMC)=phi`. Значит, прямоугольные треугольники `AMB, ADM` и `MCB` подобны.
    Вычисляем основания и высоту трапеции: `BM=ABsinphi=10/3, BC=BMsinphi=10/9`
    `DM=CM=BMcosphi=(20sqrt2)/9, AD=MDcottanphi=80/9`
    `S_(трапеции)=(200sqrt2)/9`.

    Ответ: `AB=10, BC=10/9, S_(трапеции)=(200sqrt2)/9`.
  • Задача №6 (олимпиада «Физтех 2013» по математике - очный тур)
    При каких значениях параметра a существует единственная пара чисел `(x; y)`, удовлетворяющая
    системе `{((x^2-xy+y^2)(|x-y|-6)>=0),(x(x+2)+y(y-2)=a):}`

    Решение:
    Докажем, что `f(x,y)=x^2-xy+y^2>=0` при всех `x,y in RR`, при этом `f(x,y)=0 iff x=y=0`.
    Пусть `xy>=0 => f(x,y)=(x-y)^2+xy>=0`, при этом `f(x,y)=0 iff x-y=xy=0 iff x=y=0`
    Пусть `xy<=0 => f(x,y)=(x+y)^2-3xy>=0`, при этом `f(x,y)=0 iff x{y=3xy=0 iff x=y=0`
    Если `xy!=0`, тогда первое неравенство системы эквивалентно неравенству
    `|x-y|-6>=0 iff |x-y|>=6 iff [(y<=x-6),(y>=x+6):}`
    Изобразим множество точек, удовлетворяющих этой совокупности, на координатной плоскости. Получаем все точки, лежащие на прямой `y = x + 6` и выше неё, точки на прямой `y = x - 6` и ниже неё, а также точку `(0; 0)`.
    Перейдём к уравнению `x(x+2)+y(y-2)=a`. Преобразуем левую часть, выделяя полные квадраты, и получаем `(x+1)^2+(y-1)^2=a+2`. При `a < -2` это уравнение задаёт пустое множество, при `a = -2` – точку `T(-1;1)`, а при `a > -2` – окружность с центром в точке `T(-1;1)` радиуса `sqrt(a+2)`.
    Очевидно, при `a <= -2` система не имеет решений. При `a > -2` единственное решение возможно в двух случаях: окружность проходит через точку `K(0; 0)` или окружность касается прямой `y = x + 6`. В первом случае радиус окружности должен быть равен длине отрезка `TK`, т.е. `sqrt(a+2)=sqrt2`, откуда `a = 0`. Во втором случае радиус равен расстоянию от точки `T` до прямой `x - y + 6 = 0`, т.е.
    `sqrt(a+2)=|-1-1+6|/sqrt(1+1) => a=6`.

    Ответ: `a=0, a=6`.

  • Задача №7 (олимпиада «Физтех 2013» по математике - очный тур)
    Правильная треугольная призма `ABCA_1B_1C_1` вписана в цилиндр (основания призмы вписаны в окружности оснований цилиндра). Плоскость `alpha` имеет ровно одну общую точку с каждым из оснований цилиндра и пересекает рёбра `A A_1, B B_1` и `C C_1` в точках `K, N, P` соответственно. Найдите отношения `AK : KA_1` и `CP : PC_1`, если `BN : NB_1 = 3: 4`.

    Решение:
    Пусть, для определённости, `ABC` – нижнее основание призмы. Пусть `alpha` касается нижнего и
    верхнего оснований цилиндра в точках `X` и `X_1` соответственно. Из симметрии, `X X_1` пересекает ось цилиндра. Обозначив через `X'` проекцию точки `X` на нижнее основание; тогда `X X'` – диаметр нижнего основания.
    Пусть `K', N', P'` – проекции точек `K, N, P` на осевое сечение цилиндра, содержащее `X X_1` (тогда
    они лежат на `X X_1` ), а `A', B', C'`  – проекции точек `A, B, C` на `X X'`. Поскольку `A, B, C` – проекции точек `K, N, P` на нижнее основание, получаем, что `A', B', C'` также являются проекциями `K, N, P` (а также `K', N', P'`) на `X X'`.
    Значит, `(AK)/(KA_1)=(XK')/(K'X_1)=(XA')/(A'X')`
    аналогично, `(BN)/(NB_1)=(XB')/(B'X')` и `(CP)/(PC_1)=(XC')/(C'X')`
    Пусть теперь `O` – центр нижнего основания, и `/_XOB = phi`. Без ограничения общности можно считать, что радиус нижнего основания равен `1`. Тогда `XB' =1- cosphi`. Поскольку `/_AOB=/_BOC=(2pi)/3`, аналогично получаем, что длины отрезков `XA'` и `XC'` равны `1-cos(phi+-(2pi)/3).`
    Из условия получаем, что `XB'=2*3/(3+4) => cosphi=1/7 => sinphi=(4sqrt3)/7`
    `cos(phi+(2pi)/3)=-13/14, cos(phi-(2pi)/3)=11/14`.
    Значит один из отрезков `XA'` и `XC'` равен `27/14`, другой - `3/14`, откуда искомые отношения равны `3:25` или `27:1`.

    Ответ: `AK:KA_1=3:25, CP:PC_1=27:1` или `AK:KA_1=3:25, CP:PC_1=27:1`.
  • Задача №8 (олимпиада «Физтех 2013» по математике - очный тур)
    Дан правильный `16`-угольник. Найдите количество четвёрок его вершин, являющихся вершинами выпуклого четырёхугольника, в котором хотя бы один угол равен `90^0`. (Две четвёрки вершин, отличающиеся порядком вершин, считаются одинаковыми.)

    Решение:
    Опишем окружность вокруг `16`-угольника. Вписанный угол, равный `90^0`, опирается на диаметр, поэтому одна из диагоналей является диаметром окружности, а две другие вершины находятся по разные стороны от этого диаметра. Всего есть `8` диаметров; каждую из двух других вершин можно выбрать семью способами. Тогда получается `8*7*7=392` четвёрки точек. Но при таком подсчёте прямоугольники (т.е. четырёхугольники, у которых обе диагонали являются диаметрами) посчитаны дважды. Прямоугольников выходит `C_8^2=28` штук, и в итоге получаем `392 - 28 = 364` варианта.

    Ответ: `364`.


Рассылка решений заочных туров олимпиад по математике