Рассылка решений заочных туров олимпиад по математике

Подписывайтесь на нашу рассылку решений заочных туров всех олимпиад по математике: Ломоносов, Покори Воробьевы горы, Высшая проба, Физтех 2017 и другие перечневые олимпиады.

«Высшая проба» - олимпиада 2013-2014 / Демонстрационный вариант по математике с решениями


  • Сезон олимпиад 2016-2017 открыт!
    Идет запись на наши курсы подготовки к олимпиадам по математике с гарантированным результатом.
    image
    1. Индивидуальные занятия и консультации.
    2. Помощь в прохождении заочных туров олимпиад. Одна олимпиада 1-5 тыс. руб.
    3. Помощь эксперта на очных турах олимпиад. Одна олимпиада от 30 тыс. руб.
    4. Гарантия успешного результата (курсы ведутся пятый сезон).

    Стоимость курсов от 3000 до 25000 руб. в месяц. Стандартный курс - 10000 руб. в месяц. Длительность курсов - 6 месяцев.
    В составе стандартного курса заочные туры 10 олимпиад и очные туры 2 олимпиад.
    Посмотреть тарифные планы и подробную информацию по курсам подготовки.

    Олимпиада Высшая проба 2015-2016 - задания и решения отборочного этапа по математике.
    «Высшая проба» - олимпиада 2013-2014. Демонстрационный вариант по математике с решениями.
    «Высшая проба» — олимпиада 2012-2013 — задания и решения очного тура.
    «Высшая проба» — олимпиада 2012-2013 — задания и решения отборочного тура.
    «Высшая проба» — олимпиада 2013-2014 — задания и решения отборочного этапа.
  • Задача №1 (демонстрационный вариант «Высшей пробы» по математике 2013-2014)
    В классе каждый мальчик дружит с тремя девочками, а каждая девочка - с двумя мальчиками. При этом в классе `12` парт, за каждой из которых сидит не больше двух человек и `16` отличников и отличниц. Сколько учеников в классе?

    Решение:
    Пусть `x` - количество мальчиков, `y` - количество девочек, `z` - общее количество "дружб".
    Тогда, с одной стороны `z=3x`, с другой `z=2y`, следовательно `3x=2y => x=2t, y=3t`, где `t in NN`.
    `x+y=5t`, где `t in NN`, иначе говоря, общее число учеников делится на `5`.
    По условию задачи `16<=x+y<=12*2=24`, но на отрезке `[16;24]` есть только одно целое число, которое делится на `5 => x+y=20`.

    Ответ: `20`.  
  • Задача №2
    На рисунке приведены проекции детали на координатные плоскости `XOY` и `YOZ`. Сторона клеточки равна `1`. Какой максимально возможный объем детали?

    image

    Решение:
    Деталь состоит из двух сплошных вертикальных стенок и одной полой горизонтальной перемычки.
    `V_(стенки)=1*8*11=88. 2V_(стенки)=176.`
    `V_(перемычки)=32` (`32` кубика `1*1*1`).
    `V_(детали)=208`.

    Ответ: `208`.

  • Задача №3
    По прямой в одном направлении на некотором
    расстоянии друг от друга (не вплотную) катятся с равными скоростями 5 одинаковых абсолютно упругих шариков. Еще 8 таких же шариков катятся с той же скоростью им навстречу. Сколько всего произойдет столкновений? При столкновении любых двух шариков они разлетаются в противоположные стороны с той же скоростью, с какой двигались до столкновения.
    Сколько всего столкновений произойдет между шариками? (при абсолютно упругом столкновении двух шариков, движущихся навстречу друг другу с равными скоростями, шарики после соударения разлетаются в противоположенные стороны с теми же скоростями).

    Решение:
    Рассмотрим более простую ситуацию - с одной стороны `n` шариков, с другой `1` шарик. Шарики обозначим `a_1, a_2,..., a_n` и `b`. После столкновения `a_n` и `b`, шарик `b` покатился в обратную сторону, т.е. уже не принимает участия в столкновениях, шарики `a_1,...,a_(n-1)`
    катятся в одну сторону, `a_n` навстречу им.
    По индукции легко доказать, что всего столкновений будет `n`.
    Теперь, пусть с одной стороны `n` шариков (`a_1,..., a_n`), с другой `m`
    (`b_1,..., b_m`).
    Если `m=2`, то после первого столкновения, шарик `b_2` покатится обратно, столкнется с шариком `b_1`, покатится обратно и снова столкнется с шариками `a_i`, при этом в группе `{a_i}` один шарик уже будет катиться назад (т.е. 1 шарик не учитывается), всего столкновений будет `(n)+1+(n-1)=2n`.
    Также индукцией по `m` доказываем, что всего столкновений будет `mn`.

    Ответ: `40`.
  • Задача №4
    Фабрика выпускает карандаши семи цветов радуги. Требуется составить из этих карандашей неупорядоченный набор из `10` штук таким образом, чтобы в наборе имелось не менее трёх красных карандашей, не менее двух синих и хотя бы один зелёный. Сколько существует способов сделать это?

    Решение:
    `7` вариантов все одного цвета.
    `(7!)/(4!*3!)` - все разного цвета.
    `(7*6)/2` - двух цветов, каждого по два.
    `7*6` - варианта двух цветов, одного три штуки, другого одна.
    `(7*6*5)/2` вариантов - три разных цвета.
    Осталось все это сложить.
    `7+35+21+42+105=210`

    Также все способы можно подсчитать по формуле числа сочетаний с повторениями:
    `(10!)/(4!*6!)=210`

    Ответ: `210`.
  • Задача №5
    Найдите предпоследнюю цифру числа `29^2010`.

    Решение:
    `29^2010=(30-1)^2010=(10A-1)^2010=B*(10A)^2-2010*10A+1=100C+1`, поэтому предпоследняя цифра будет `0`.
    Использована формула `(a-b)^n=a^n-C_n^1a^(n-1)+...+(-1)^(n-1)C_1^nab^(n-1)+(-1)^nb^n`,
    За `A` взяли `3`, за `B` длинную штуку, за `C=BA^2-201A`.

    Также должно быть очевидно, что у числа вида `100C+1`, где `C in NN`, предпоследняя цифра равно `0`.

    Ответ: `0`.
  • Задача №6
    Стороны `AB` и `AC` треугольника `ABC` равны `6` и `7` соответственно, а биссектриса `CD` делится точкой `O` пересечения биссектрис в отношении `CO:OD=3:2`. Найдите оставшуюся сторону `BC`.

    Решение:
    `BC=x`.
    Из треугольника `ACD`: `(OC)/(OD)=(AC)/(AD)=3/2 => AD=14/3`
    тогда `BD=AB-AD=6-14/3=4/3`
    По свойству биссектрисы `CD`:
    `(AD)/(BD)=7/x iff 14/4 =7/x => x=2`

    Ответ: `2`.
  • Задача №7
    Различные целые числа m,n таковы, что числа `1/m-5` и `1/n-5` являются корнями квадратного уравнения `x^2+ax+b=0` с целыми коэффициентами. Найдите `a+b`.

    Решение:
    По теореме Виета:
    `(1/m-5)(1/n-5)=b => (5m-1)(5n-1)=bmn => 5(m+n)-1=mn(25-b)`, т.е. `5(m+n)-1` делится нацело на `mn`.
    Понятно, что `nm!=0`.
    С другой стороны, `1/m-5+1/n-5=-a => (m+n)/(mn)=10-a => m+n=mn(10-a)`, т.е. `m+n` делится нацело на `mn`.
    Следовательно, `1 vdots mn => mn=+-1`.
    `m!=n => m=1, n=-1` или `m=-1, n=1`. В каждом из этих случаев получаем `a+b=34`.

    Ответ: `34`.
  • Задача №8
    Концерт начался между `6` и `7` вечера, а закончился между `9` и `10` вечера. Известно, что часовая и минутная стрелки за время концерта в точности поменялись местами (стрелки часов движутся непрерывно и с постоянными скоростями). Сколько полных минут длился концерт?

    Решение:
    Между `6` и `7` часами часовая стрелка находится между цифрами `6` и `7`. В момент окончания концерта там же находилась минутная стрелка, то есть было `9` часов `30-35` минут.
    Между `9` и `10` вечера часовая стрелка находится между цифрами `9` и `10`. В момент начала концерта там же находилась минутная стрелка, то есть было `6` часов `45-50` минут.
    Имеем: начало концерта `6` часов `45-50` минут. Часовая стрелка в это время находится на `4`-м делении между `6` и `7`. Такое положение минутной стрелки указывает на `34` мин.
    То есть конец концерта `9` часов `34` минуты. `34` минуты - `3/5` часа. Если поменять стрелки местами, получим `6` часов `48` минут.
    Между `6` часов `48` минут и `9` часов `34` минуты прошло `2` часа `36` минуты, или `166` минут.

    Ответ: `166`.
  • Задача №9
    В треугольной пирамиде все высоты боковых граней, проведенные из вершины, равны `13`, периметр основания равен `75`, объем равен `750`. Найдите высоту пирамиды.

    Решение:
    image
    Т.к. все высоты боковых граней равны, то равны и их проекции, по теореме о трех перпендикулярах, если наклонная перпендикулярна прямой то и ее проекция перпендикулярна этой прямой, т.о. расстояния от точки основания высоты до всех сторон основания равны. И основание высоты может являться центром вписанной окружности.
    `S_(осн)=pr`, где `р` - полупериметр основания, а `r` - радиус вписанной окружности.
    `V=1/3 S_(осн)H=1/3prH`
    `rH=(3V)/p=(3*2*750)/75=60`
    `H^2+r^2=l^2`, где `l` - апофема
    Решаем систему:
    `{(rH=60),(H^2+r^2=169):}`
    Из первого `r=60/H` подставим во второе
    `H^2+3600/H^2=169`
    `H^4-169H^2+3600=0`
    `H^2=25` или `H^2=144`
    `H=5` или `H=12`
    `H=5` не подходит, т.к. радиус не может равняться `12`, окружность не будет вписанной
    `H=12`

    Ответ: `12`.
  • Задача №10
    Найти такое наименьшее `n`, что уравнение
    `tan(tan(... tan(x)...))=2012` (`n` тангенсов)
    имеет бесконечное число решений на отрезке `[0;pi/3]`.

    Решение:
    Имеем, `tanx` отображает отрезок `[0, pi/3]` на `[0, sqrt3]`, причем `pi/2 < sqrt 3 < pi`. Поэтому `tan(tan x)` взаимно однозначно отображает `[0, pi/2)uu(pi/2, sqrt3]` на `(-oo, tan sqrt3]uu[0, +oo)`. Осталось отметить, что тангенс на любом луче (в пересечении с ОДЗ) принимает своим значением каждое вещественное число бесконечно много раз, и, тем самым, `tan(tan(tanx))` удовлетворяет условию задачи.

    Ответ: `3`.

Рассылка решений заочных туров олимпиад по математике