Рассылка решений заочных туров олимпиад по математике

Подписывайтесь на нашу рассылку решений заочных туров всех олимпиад по математике: Ломоносов, Покори Воробьевы горы, Высшая проба, Физтех 2017 и другие перечневые олимпиады.

ОММО 2012 / Объединенная межвузовская математическая олимпиада / Задания и решения


  • Сезон олимпиад 2016-2017 открыт!
    Идет запись на наши курсы подготовки к олимпиадам по математике с гарантированным результатом.
    image
    1. Индивидуальные занятия и консультации.
    2. Помощь в прохождении заочных туров олимпиад. Одна олимпиада 1-5 тыс. руб.
    3. Помощь эксперта на очных турах олимпиад. Одна олимпиада от 30 тыс. руб.
    4. Гарантия успешного результата (курсы ведутся пятый сезон).

    Стоимость курсов от 3000 до 25000 руб. в месяц. Стандартный курс - 10000 руб. в месяц. Длительность курсов - 6 месяцев.
    В составе стандартного курса заочные туры 10 олимпиад и очные туры 2 олимпиад.
    Посмотреть тарифные планы и подробную информацию по курсам подготовки.


    ОММО 2012. Объединенная межвузовская математическая олимпиада. Задания и решения очного тура.

    Задания и решения олимпиады ОММО за все годы


    ОММО 2014 - заочный и очный туры
    ОММО 2013 - задания и решения очного тура.
    ОММО 2013 - задания и решения отборочного тура.
  • Задача №1 (ОММО 2012 - вариант 1)
    На `100` мест за круглым столом посадили `50` мужчин и `50` женщин. Будем называть человека довольным, если у него есть сосед противоположного пола. Может ли отношение числа довольных мужчин к числу довольных женщин быть больше `1,9`?

    Решение:
    Посадим сначала за стол вперемежку `25` женщин и `25` пар мужчин. После этого заменим одну из женщин рядом `26` женщин.
    В итоге за столом рядом с каждый из `50` мужчин сидит женщина, а женщин, рядом с которыми сидит мужчина, будет `26` (`24` сидящих между парами и две женщины на краях "ряда"). Таким образом, для данной рассадки отношение есть `50/26=2-1/13>2-1/10=1.9`

    Ответ: Да, может.
  • Задача №2 (ОММО 2012 - вариант 1)
    На первом складе в каждом ящике в среднем по `3` бракованных изделия, а на втором складе - по `6`. С первого склада на второй перевезли `50` ящиков, и среднее количество бракованных изделий в ящике на каждом из складов уменьшилось на `1`.
    Сколько всего ящиков на двух складах?

    Решение:
    Приравняв суммарное количество бракованных изделий до и после перемещения, получаем ответ.

    Ответ: `150`.
  • Задача №3 (Объединенная межвузовская математическая олимпиада 2012 - вариант 1)
    Найдите последнюю цифру числа `7^(2012^2011)-3^(12^11)`.

    Решение:
    Так как `7^4` оканчивается цифрой `1`, последовательность последних цифр числа `7^n` периодична с периодом `4`. В частности (так как `2012` в любой степени делится на `4`), цифрой `1` оканчивается первое слагаемое. Аналогично для второго слагаемого.

    Ответ: `0`.
  • Задача №4 (Объединенная межвузовская математическая олимпиада 2012 - вариант 1)
    Длина медианы `AD` треугольника `ABC` равна `3`, длины сторон `AB` и `AC` - `5` и `7` соответственно. Найдите площадь треугольника `ABC`.

    Решение:
    Продлим медиану. Получим треугольник `ABA'` (`AD = DA'`), равновеликий исходному, со сторонами `5, 6` и `7`. Его площадь легко найти по формуле Герона:
    `S_(ABC) = S_(BDA') = sqrt(9*(9 - 5)*(9 - 6)*(9 - 7)) = 6sqrt6`.
    Замечание: Длина стороны `AC` равна `4sqrt7`.

    Ответ: `6sqrt6`.
  • Задача №5 (ОММО 2012 - вариант 1)
    Найдите сумму всех различных корней уравнения
    `sinx + sin2x + sin3x + sin4x + sin5x = 0`,
    принадлежащих интервалу `(0; pi)`.

    Решение:
    Домножим обе части уравнения на `sin(x/2)` (преобразование равносильно, так как на указанном отрезке это выражение не обращается в ноль). Перепишем
    `2sin(x/2) * sinkx` как `cos((2k-1)/2x) - cos((2k+1)/2x)`. После этого сократятся все слагаемые, кроме
    первого и последнего.
    Таким образом, корни исходного уравнения совпадают с корнями уравнения
    `cos(1/2x)-cos(11/2x)=0`
    т. е. (переходя от разности обратно к произведению) уравнения
    `sin3x*sin(5/2x)=0`
    Корни последнего уравнения - числа вида `(pik)/3` и `(2pil)/5`, где `k, l in ZZ`.
    Осталось просуммировать корни, попавшие в нужный промежуток:
    `(pi/3+(2pi)/3)+((2pi)/5+(4pi)/5)=(11pi)/5`

    Ответ: `(11pi)/5`.
  • Задача №6 (ОММО 2012 - вариант 1)
    Решите систему
    `{((xy)/(x+y)=1),((yz)/(y+z)=2),((xz)/(x+z)=3):}`

    Решение:
    Перевернем каждое из уравнений системы и разобьем на две дроби, например:
    `(x+y)/(xy)=1 => 1/x+1/y=1`
    `{(1/x+1/y=1),(1/y+1/z=1/2),(1/x+1/z=1/3):}`
    Обозначим `1/x=a, 1/y=b, 1/z=c`, полученная система легко решается.
    Например, если сложим все три уравнения, получим `2a+2b+2c=11/6 iff a+b=c=11/12` и т.д.
    `a=5/12, b=7/12, c=-1/12`.

    Ответ: `x=12/5, y=12/7, z=-12`.

  • Задача №7 (ОММО 2012 - вариант 1)
    Функция `f(x)` для всех `x` удовлетворяет равенству `f(x+3)=x+2-f(x)`, а при `x in [-3;0)` задается формулой `f(x)=x^2`. Найдите `f(2012)`.

    Решение:
    `f(x+6)=x+3+2-f(x+3)=x+5-x-2+f(x)=f(x)+3`
    `f(2012)=f(2+6*335)=f(2)+3*335=f(-1+3)+3*335=-1+2-f(-1)+3*335=1005`.

    Ответ: `1005`.
  • Задача №8 (ОММО 2012 - вариант 1)
    На одной из сторон острого угла с вершиной `O` взяты точки `A` и `B`, а на другой - точка `C`. При какой длине отрезка `OC` величина угла `ACB` максимальна, если `OA = 1`, `OB = 5`?

    Решение:
    Проведем через точки `A` и `B` окружность, касающуюся второй стороны угла. Если `C` - точка касания, то угол `ACB` равен половине дуги `AB`. В противном случае угол `ACB` равен полуразности дуги `AB` и второй дуги, высекаемой углом `ACB` - т. е. будет меньше.
    Остается воспользоваться тем, что квадрат касательной равен произведению секущей на ее внешнюю часть.

    Ответ: `sqrt5`.

  • Задача №9 (ОММО 2012 - вариант 1)
    При каких значениях параметра `a` система
    `{(|x|+|y|+||x|-|y||=6),(|x|+|y|=a):}`
    имеет наибольшее возможное число решений?

    Решение:
    Вспомнив, что `a+b+|a-b|=2max(a,b)`, нетрудно понять, что каждое из уравнений системы задает квадрат с центром в начале координат: первое уравнение - квадрат со сторонами, параллельными осям координат, второе уравнение - со сторонами, идущими под углом `45^0`.
    Поэтому система имеет не более `8` решений.
    Ответ: `(3,6)`.

  • Задача №10 (ОММО 2012 - вариант 1)
    Посылка должна быть упакована в ящик в форме прямоугольного параллелепипеда и перевязана один раз вдоль и два раза поперек (см. рис.).
    image
    Можно ли отправить посылку объема `37` `дм^3`, имея `3,6` м веревки (толщиной стенок ящика и уходящей на узлы веревкой пренебречь)?

    Решение:
    Пусть ящик имеет размеры `x`x`y`x`z`, тогда веревка должна иметь длину `2x+6y+4z.`
    По неравенству о средних:
    `2x+6y+4z>=3root(3)(2x*6y*4z)=6root(3)(6*37)>6*root(3)(6*36)=36`.

    Ответ: Нет.

Рассылка решений заочных туров олимпиад по математике