Рассылка решений заочных туров олимпиад по математике

Подписывайтесь на нашу рассылку решений заочных туров всех олимпиад по математике: Ломоносов, Покори Воробьевы горы, Высшая проба, Физтех 2017 и другие перечневые олимпиады.

Задачи и решения отборочного тура олимпиады ОММО по математике


  • Сезон олимпиад 2016-2017 открыт!
    Идет запись на наши курсы подготовки к олимпиадам по математике с гарантированным результатом.
    image
    1. Индивидуальные занятия и консультации.
    2. Помощь в прохождении заочных туров олимпиад. Одна олимпиада 1-5 тыс. руб.
    3. Помощь эксперта на очных турах олимпиад. Одна олимпиада от 30 тыс. руб.
    4. Гарантия успешного результата (курсы ведутся пятый сезон).

    Стоимость курсов от 3000 до 25000 руб. в месяц. Стандартный курс - 10000 руб. в месяц. Длительность курсов - 6 месяцев.
    В составе стандартного курса заочные туры 10 олимпиад и очные туры 2 олимпиад.
    Посмотреть тарифные планы и подробную информацию по курсам подготовки.


    Задачи и решения отборочного тура олимпиады ОММО 2013 по математике.
    Объединенная Межвузовская Математическая Олимпиада школьников 2013.

    Задачи не по порядку.

  • Задача №1
    Числа `1/3, 1/5` и `1/7` являются членами арифметической прогрессии. Найдите наибольшую возможную разность этой прогрессии.

    Решение:
    Арифметическая прогрессия либо возрастает, либо убывает. Имеется две возможности очередности наших чисел:
    `1/3, 1/5, 1/7` или `1/7, 1/5, 1/7`.
    В первом случае `d<0`, во втором `d>0`. Достаточно рассмотреть второй случай.
    Система:
    `{(1/5-1/7=nd),(1/3-1/5=md):}`
    где `n,m` - натуральные числа.
    `d=2/(15m)=2/(35n)`,
    `15m=35n`,
    `3m=7n`.
    Надо найти минимальное натуральное решение уравнения. Это `m=7, n=3`, поэтому `d=2/105`.

    Ответ: `2/105`.
  • Задача №2
    На складе `240` сапог: `120` левых и `120` правых, по `80` штук каждого из трех размеров. Какое наименьшее число годных пар может быть на складе?

    Решение:
    `x_(1,2,3)` - количество левых сапог размеров `1,2,3`.
    Тогда `80-x_(1,2,3)` - количество правых сапог размеров `1,2,3`.
    По условию `x_1+x_2+x_3=120`.
    Для определенности можем считать, что `x_1<=x_2<=x_3`.<br />Тогда `x_1<=40<=x_3`, поэтому `1` размера будет `x_1` годных пар `(x_1<=80-x_1)`, а `3` размера `80-x_3` годных пар.<br />Всего годных пар `P=x_1+min(x_2,80-x_2)+80-x_3`,
    `P=x_1+x_2-x_3+80 или P=x_1-x_2-x_3+160`.
    `P=x_1+x_2-x_3+80=(x_1+x_2+x_3)-2x_3+80=200-2x_3>=40 т.к. x_3<=80`.<br />`P=x_1-x_2-x_3+160=2x_1-120+160=2x_1+40>=40 т.к. x_1>=0`.
    `P_min=40` - это возможно, если `x_1=0, x_2=40, x_3=80`.

    Ответ: `40` пар.

Рассылка решений заочных туров олимпиад по математике